Kunen ejercicio III.8.21

Question

Deje $f: \omega_1\to \mathbb{R}$ ser uno-uno. Deje $g:[\omega_1]^2\to 2$ ser tal que para cualquier $\alpha<\beta<\omega_1$, $g(\{\alpha, \beta\})$ es $0$ al $f(\alpha)<f(\beta)$, e $1$ lo contrario. $g$ da como resultado el siguiente parcial de las órdenes en subconjuntos finitos de $\omega_1$.

$\mathbb{P_\mu} = \{p\in [\omega_1]^{<\omega}: \forall \alpha, \beta\in p(\alpha\not = \beta \to g(\{\alpha, \beta\}) = \mu)\}$

El ejercicio es demostrar que ninguna de las $\mathbb{P_0}$ ni $\mathbb{P_1}$ son de la ccc. El orden es $p\leq q$ fib $p\supseteq q$.

Sé que me estoy perdiendo algo muy simple, pero me he gastado una cantidad excesiva de tiempo en esto, y tengo que seguir adelante!

Answer 1

Aquí es forzar un argumento (no se cómo Kunen quiere que lo hacen desde la obligando está cubierto en el capítulo 4): en Primer lugar, por tirar todos los racionales intervalos en los que $f[\omega_1]$ es contable, podemos optar $X \subseteq \omega_1$ tal que $\omega_1 \setminus X$ es contable y para cada $x \in f[X]$, $|[x, \infty) \cap f[X]| = \omega_1$. Deje $Q_0 = \{p \in P_0 : p \subseteq X\}$. Tenga en cuenta que para cualquiera de las dos condiciones $p, q \in Q_0$, $p, q$ son compatibles en $Q_0$ fib son compatibles en $P_0$ (como testigo de su unión). Por lo tanto es suficiente para demostrar que $Q_0$ no ccc. Pero esto es claro desde $Q_0$ añade un aumento de la $\omega_1$-secuencia de reales y, por tanto, una inyección de $\omega_1$ a los racionales, de modo que $\omega_1$ se derrumbó. El argumento de $P_1$ es idéntico.

Answer 2

Esto es complicado, yo estaba convencido de que había un error de un minuto!

En primer lugar, permítanme esbozar por eso pensé que era c.c.c. Es una $\Delta$-sistema de argumento. Veamos $\mathbb{P}_0$. Supongamos que hay un incontable antichain $A=\{p_\eta: \eta\in\omega_1\}$. Luego por la $\Delta$-sistema de lema, podemos asumir WLOG que $A$ $\Delta$- sistema con root $r$, y (por caja) $p_\eta\setminus r$ tiene el tamaño de $n$ fijos $n$ (independientemente de $\eta$).

Veamos ahora el caso especial donde$\vert r\vert=1$$n=1$; es decir, hay algo de $\alpha\in\omega_1$ de manera tal que cada una de las $p_\eta$ tiene la forma $\{\alpha, \beta_\eta\}$, e $\beta_\eta=\beta_\delta\iff\eta=\delta$. De nuevo WLOG por caja, podemos suponer que $\alpha<\beta_\eta$ $\beta_\eta<\beta_\delta$ por cada $\eta<\delta<\omega_1$.

Entonces, ¿qué? Así, desde cada una de las $p_\eta$ es una condición en la $\mathbb{P}_0$, debemos tener $f(\alpha)<f(\beta_\eta)$ por cada $\eta$. Puesto que el $p_\eta$s forma un antichain, también debemos tener $f(\beta_\eta)>f(\beta_\delta$ $\eta<\delta$ (ya que de lo contrario $\{\alpha, \beta_\eta, \beta_\delta\}$ sería una condición que se extiende tanto en$p_\eta$$p_\delta$).

Pero esto significa que $\{f(\beta_\eta): \eta\in\omega_1\}$ es estrictamente una disminución de la secuencia de reales de orden de tipo $\omega_1$, lo que no puede suceder.

Por supuesto, yo sólo he considerado un caso muy especial aquí; pero parece plausible que esto debería funcionar en general. Así, es razonable suponer que esto es c.c.c.

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Pero que hay de malo - la combinatoria cambia por completo una vez que hemos longitud-dos pétalos! Voy a describir un determinado $f$ con una fácilmente describible innumerables antichain; no es difícil mostrar que esto sucede en general.

Aquí es lo que quieres de mi $f$:

• Para cada límite $\lambda>0$, $f(\lambda)=-f(\lambda+1)$, ambos están en $(-1, 1)$, e $f(\lambda)<0$.

• $f(0)=-7$.

Ahora vamos a $$p_\eta=\{0, \eta, \eta+1\}$$ for $0<\eta<\omega_1$ a limit ordinal. It's easy to check that $p_\eta\in \mathbb{P}_0$, but the set $\{p_\eta: \eta<\omega_1\mbox{ es un límite }\}$ is an antichain! Suppose $\eta<\delta$ son el límite de los números ordinales. Entonces tenemos dos posibilidades:

• Caso 1: $f(\eta)<f(\delta)<f(\delta+1)<f(\eta+1)$. En este caso, tenemos $g(\delta+1, \eta+1)=1$, lo $p_\eta\perp p_\delta$.

• Caso 2: $f(\delta)<f(\eta)<f(\eta+1)<f(\delta+1)$. En este caso, tenemos $g(\delta, \eta)=1$, lo $p_\eta\perp p_\delta$.

Para general $f$, la clave lema usted necesita demostrar que es:

Si $A\subseteq\mathbb{R}$ es incontable, entonces hay una familia $\{P_\eta: \eta<\omega_1\}$ de los distintos pares de elementos de $A$ tal que - si $P_\eta=\{r_\eta<s_\eta\}$ - tenemos $r_\eta<r_\delta\iff s_\delta<s_\eta$ todos los $\eta,\delta<\omega_1$ (básicamente, tenemos un incontable anidada de la familia de los pares).