La prueba de la derivada de ln(x)

Question

Estoy tratando de demostrar que $\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}\ln x = \frac{1}{x}$.

Aquí es lo que tengo hasta ahora: $$ \begin{align} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}\ln x &= \lim_{h\to0} \frac{\ln(x + h) - \ln(x)}{h} \\ &= \lim_{h\to0} \frac{\ln(\frac{x + h}{x})}{h} \\ &= \lim_{h\to0} \frac{\ln(1 + \frac{h}{x})}{h} \\ \end{align} $$ Para simplificar el logaritmo: $$ \lim_{h\to0}\left (1 + \frac{h}{x}\right )^{\frac{1}{h}} = e^{\frac{1}{x}} $$ ↑ Esta es la línea que tengo problemas con el. Puedo ver que es cierto por poner números, pero no puedo demostrarlo. Sé que $e^{\frac{1}{x}} = \lim_{h\to0}\left (1 + h \right )^{\frac{1}{xh}}$, pero no puedo averiguar cómo llegar desde la línea anterior a eso. $$ \lim_{h\to0}\left ( \left (1 + \frac{h}{x}\right )^{\frac{1}{h}}\right )^{h} = e^{\frac{h}{x}} $$ Volviendo a la derivada: $$ \begin{align} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}\ln x &= \lim_{h\to0} \frac{\ln(e^{\frac{h}{x}})}{h} \\ &= \lim_{h\to0} \frac{\frac{h}{x}\ln(e)}{h} \\ &= \lim_{h\to0} \frac{h}{x} \div h\\ &= \frac{1}{x} \\ \end{align} $$

Esta prueba parece bien, aparte de medio paso para conseguir $e^{\frac{1}{x}}$. ¿Cómo podría yo demostrar que parte?

Answer 1

Si usted puede utilizar la regla de la cadena y el hecho de que la derivada de $e^x$ $e^x$ y el hecho de que $\ln(x)$ es diferenciable, entonces tenemos:

$$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} x = 1$$

$$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} e^{\ln(x)} = e^{\ln(x)} \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} \ln(x) = 1$$

$$e^{\ln(x)} \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} \ln(x) = 1$$

$$x \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} \ln(x) = 1$$

$$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} \ln(x) = \frac{1}{x}$$

Answer 2

La manera más sencilla es utilizar el teorema de la función inversa para los derivados:

Si $f$ es un bijection de un intervalo de $I$ a un intervalo de $J=f(I)$, lo que ha derivado en $x\in I$,y si $f'(x)\neq 0$, $f^{-1}\colon J\to I$ tiene una derivada en $y=f(x)$, y $$\bigl(f^{-1}\bigr)'(y)=\frac1{f'(x)}=\frac1{f'\bigl(f^{-1}(y)\bigr)}.$$

Como $(\mathrm e^x)'=\mathrm e^x\neq 0\,$ todos los $x$, sabemos que $\,\ln\,$ tiene una derivada en cada punto de su dominio, y $$(\ln)'(y)=\frac1{\mathrm e^{\,\ln y}}=\frac1y.$$

Answer 3

Definir $$e=\lim_{h\to 0} \left(1+h\right)^{1/h}.$$ Then change variables $h\mapsto h/x$ giving $$e=\lim_{h/x\to 0} \left(1+\frac{h}{x}\right)^{\frac{x}{h}}=\lim_{h\to 0} \left(1+\frac{h}{x}\right)^{\frac{x}{h}},$$ where the limit in the second equality follows since $h$ approaches $0$ as $h/x$ does. Since $x$ is constant w.r.t. $h$, we can simplify by raising both sides to the power $1/x$, dándole el deseo de identidad.

Answer 4

Acaba de lanzar hacia fuera allí para que usted vea, también me gusta esta prueba:

$$y=\ln x$$ $$e^y=x$$

después de la diferenciación,

$$e^y \frac{dy}{dx}=1$$

$$ \begin{align} \frac{dy}{dx}&=\frac{1}{e^y}\\ &= \frac{1}{e^{\ln x}}\\ &= \frac{1}{x} \end{align} $$

por supuesto, que se supone que ya sabe la derivada de $e^x$ y la regla de la cadena

Answer 5

Si usted puede utilizar la definición de $e$: $$e:=\lim_{n\rightarrow∞}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n$$

y el ligeramente modificada de la forma: $\displaystyle e^x=\lim_{n\rightarrow∞}\left(1+\frac{x}n\right)^n$

luego, mediante el establecimiento $h=\frac1{x}$ se puede calcular el límite deseado.