Si las sumas parciales de un $a_n$ están acotados, entonces $\sum{}_{n=1}^\infty a_n e^{-nt}$ converge para todo $t > 0$

Question

Si las sumas parciales de un $a_n$ están acotados, entonces $$\sum_{n=1}^\infty \frac{a_n }{e^{nt}}$$ converge para todo $t > 0$ .

Prueba ya que las sumas parciales de $a_n$ están acotados, entonces existe $C > 0 $ tal que $\left|\sum_{n=1}^M a_n \right| < C$ para todos $M \in \mathbb{N}$ por lo que para cada $n\in \mathbb N $ tenemos que $|a_n| < C$ . Ahora, $$ \sum_{n=1}^\infty \frac{a_n}{e^{nt}} = \lim_{M\to\infty} \sum_{n=1}^M \frac{a_n}{e^{nt}} \leq \lim_{M\to\infty} \sum_{n=1}^M \frac{C}{e^{nt}} = C \sum_{n=1}^\infty \left(\frac{1}{e^t}\right)^n < \infty \iff \frac{1}{e^t} < 1 $$ y esto se satisface para cada $t > 0$ . ¿Hay algún error? No me convence mi forma de escribir la prueba. Gracias de antemano.

Answer 1

Puedes concluirlo basándote en Suma parcial de Abel (El resultado se denomina prueba de alternancia generalizada o prueba de Dirichlet ). Primero demostraremos la afirmación generalizada.

Considere la suma $S_N = \displaystyle \sum_{n=1}^N a(n)b(n)$ . Dejemos que $A(n) = \displaystyle \sum_{n=1}^N a(n)$ . Si $b(n) \downarrow 0$ y $A(n)$ está acotada, entonces la serie $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a(n)b(n)$ converge.

En primer lugar, hay que tener en cuenta que a partir de la suma de Abel, tenemos que \begin{align*}\sum_{n=1}^N a(n) b(n) &= \sum_{n=1}^N b(n)(A(n)-A(n-1))\\&= \sum_{n=1}^{N} b(n) A(n) - \sum_{n=1}^N b(n)A(n-1)\\ \\&= \sum_{n=1}^{N} b(n) A(n) - \sum_{n=0}^{N-1} b(n+1)A(n) \\&= b(N) A(N) - b(1)A(0) + \sum_{n=1}^{N-1} A(n) (b(n)-b(n+1))\end{align*} Ahora bien, si $A(n)$ está acotado, es decir $\vert A(n) \vert \leq M$ y $b(n)$ es decreciente, entonces tenemos que $$\sum_{n=1}^{N-1} \left \vert A(n) \right \vert (b(n)-b(n+1)) \leq \sum_{n=1}^{N-1} M (b(n)-b(n+1))\\ = M (b(1) - b(N)) \leq Mb(1)$$ Por lo tanto, tenemos que $\displaystyle \sum_{n=1}^{N-1} \left \vert A(n) \right \vert (b(n)-b(n+1))$ converge y por lo tanto $$\displaystyle \sum_{n=1}^{N-1} A(n) (b(n)-b(n+1))$$ converge absolutamente. Ahora bien, como $$\sum_{n=1}^N a(n) b(n) = b(N) A(N) + \sum_{n=1}^{N-1} A(n) (b(n)-b(n+1))$$ tenemos que $\displaystyle \sum_{n=1}^N a(n)b(n)$ converge. En su caso, $a(n) = a_n$ . Por lo tanto, $A(N) = \displaystyle \sum_{n=1}^N a(n)$ está acotado. También, $b(n) = \dfrac1{e^{nt}}$ es una secuencia monótona decreciente que converge a $0$ para $t>0$ .

Por lo tanto, tenemos que $$\sum_{n=1}^N a_n e^{-nt}$$ converge.