¿Cómo se halla generalmente una función de distribución conjunta (o densidad) a partir de marginales cuando hay dependencia?

Question

Así que sé que se puede pasar de una función de densidad conjunta $f(x,y)$ a funciones de densidad marginal, como $f_x(x)$ integrando contra las otras variables como en $f_x(x) = \int f(x,y) dy$ ...pero dado $f_x(x)$ y $f_y(y)$ como densidades para variables aleatorias dependientes ¿cómo se puede hallar una densidad conjunta o una función de distribución?

Gracias

Answer 1

Habrá muchas distribuciones diferentes con las mismas distribuciones marginales, por lo que es necesario seleccionar una forma específica de agregar las distribuciones marginales en distribuciones conjuntas. Suponer que son independientes es esencialmente hacer una de estas posibles elecciones. La forma más común de hacer la elección, es trabajando con un cópula .

Answer 2

Por ejemplo, supongamos que las densidades marginales de $X$ y $Y$ son ambos 1 en el intervalo $[0,1]$ 0 en caso contrario. Una familia de posibilidades para la densidad conjunta es $f(x,y) = 1 + g(x) h(y)$ para $0 < x < 1$ , $0 < y < 1$ 0 en caso contrario, para las funciones $g$ y $h$ tal que $\int_0^1 g(x)\, dx = \int_0^1 h(y)\, dy = 0$ , $-1 \le g(x) \le 1$ y $-1 \le h(y) \le 1$ . Y hay infinitas posibilidades más.