Deligne, curvas elípticas y formas modulares

Question

Estoy tratando de entender un argumento de Deligne (en Courbes elliptiques: Formulaire d'après J. Tate), pero no estoy lo suficientemente familiarizado con la geometría algebraica, así que estoy bastante confundido. Así que incluso en mi estado de cuenta me podría decir cosas que no tienen ningún sentido, por favor me corrigen si es así.

Una curva elíptica es un buen adecuada de morfismos $p : E \rightarrow$ S de los planes, de tal manera que la geometría de las fibras están conectados curvas de género 1, junto con una sección $e: S \rightarrow E$. La gavilla de los diferenciales de $\Omega_{E/S}$ puede ser empujado hacia adelante para obtener una gavilla de $\omega_{E/S} = p_{*}\Omega_{E/S}$ en $S$.

A continuación, se muestra cómo la $E$ puede ser embebido en el espacio proyectivo de $\mathbb{P}_S^2$, en la no-homogénea coordenadas: $(*) espacio \\espacio espacio\\espacio y^2 + a_1 xy + a_3 y = x^3 + a_2 x^2 + a_4 x + a_6$.

Más tarde, él define las formas modulares de peso $n$ como si fuera una ley que asocia a cada curva elíptica $E \rightarrow$ S como en el anterior, una sección de $\omega_{E/S}^{\otimes n}$ en una manera que es compatible con el cambio de base. Lo siguiente que dice: la aplicación de la definición de la ecuación anterior (*), podemos ver que cualquier forma modular de peso $n$ es un polinomio de grado $n$ en la $a_i$s'. He de ver cómo eso podría tener sentido, pero agradecería si alguien podría explicar un poco más a mí cómo explícitamente derivar a esa conclusión (que son polinomios en el $a_i$'s). Gracias de antemano!

Edit: pregunta extra: para un esquema general $S$, ¿qué hacen los $a_i$'s decir? si $S = Spec(R)$, espero que sean los elementos de $R$, pero ¿qué son en el caso de un más complicado plan?

Answer 1

Deje que $\Delta$ denotar el discriminante de la cúbico de la curva dada por la fórmula ($*$). (Este es un poco complicado de expresión en el $a_i$s que no voy a escribir aquí; pero déjame que me tenga en cuenta que hay estándar de las expresiones de $c_4$ y $c_6$ que son ciertos polinomios en el $a_i$s, tales que $1728 \Delta = c_4^3 - c_6^2$.) La fórmula ($*$) a continuación se define una curva elíptica sobre $S:=$Spec $\mathbb Z[a_1,a_2,a_3,a_4,a_6,\Delta^{-1}].$ También la invertible gavilla $\omega$ más de $S$ adjunta a esta curva elíptica es canónicamente trivializado, porque se admite la sección global de $dx/(2y +a_1x + a_3) = dy/(3x^2 + 2 a_2 x + a_4 - a_1y).$

Por lo tanto, cualquier forma modular de peso $n$, cuando se evalúan en ($*$), da lugar a una sección global de $\mathcal O_S$, es decir, un elemento de $\mathbb Z[a_1,\cdots,a_6,\Delta^{-1}].$

Además, como Deligne muestra y como usted señaló, dado cualquier ellptic curva de $E$ sobre cualquier base $S'$, podemos cubrir $S'$ por abrir conjuntos de $U$ tales que $E_{| U}$ es la pull-back de ($*$) a través de un mapa de $U \S$. Por lo tanto el valor de la forma modular en $E$ es determinado por su valor en $(*)$.

En resumen, cualquier forma modular está determinado por dar un cierto elemento de $\mathbb Z[a_1,\ldots,a_6,\Delta^{-1}]$.

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Tenga en cuenta que no todos los elementos de este anillo es en realidad una forma modular, porque los mapas de $U \S$ discutido anteriormente no son los únicos. Por lo tanto las formas modulares son aquellos elementos de $\mathbb Z[a_1,\ldots,a_6,\Delta^{-1}]$ que son invariantes bajo la automorfismos de este anillo, que son inducidas por el "cambio de Weierstrass ecuación". Deligne se explica esto, y concluye que el anillo de las formas modulares es exactamente $\mathbb Z[c_4,c_6,\Delta^{\pm 1}]$. (También hay una cuestión de holomorphicity de las cúspides de la que estoy ignorando aquí; probablemente Deligne direcciones permitiendo ciertas singular curvas así, y por lo tanto el trabajo de más de $\mathbb Z[a_1,\ldots,a_6]$ en vez de $\mathbb Z[a_1,\ldots,a_6,\Delta^{-1}].$ Esto le dará la respuesta correcta de $\mathbb Z[c_4,c_6,\Delta]$, es decir, no permitir que $\Delta^{-1}$ como las formas modulares, ya que mientras este está bien definido en true curvas elípticas, no está bien definido en singular cúbicos curvas.)

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Tenga en cuenta que también se puede reemplazar $\mathbb Z$ por otro anillo $R$, y restringir la atención a los $R$-planes, y por lo tanto definir el anillo de las formas modulares de más de $R$. E. g. si usted toma $R = \mathbb F_2$, se obtiene el anillo de las formas modulares mod $2$. Usted puede comprobar, el uso de Deligne del formlas, que $a_1$ es en la variante en virtud del cambio de la ecuación de Weierstrass en char. $2$, y por lo tanto define un formato modular mod $2$, la llamada de la Naturaleza invariante.

Del mismo modo, se puede comprobar que $b_2$ es un bien definido de forma modular mod $3$ (pero sólo mod $3$). Este es el mod $3$ Hasse invariante.

Estos son buenos ejemplos para pensar, para practicar el uso de Deligne (en realidad Tate) fórmulas para el cambio de Weierstrass ecuación para definir las formas modulares.