Estoy tratando de entender un argumento de Deligne (en Courbes elliptiques: Formulaire d'après J. Tate), pero no estoy lo suficientemente familiarizado con la geometría algebraica, así que estoy bastante confundido. Así que incluso en mi estado de cuenta me podría decir cosas que no tienen ningún sentido, por favor me corrigen si es así.
Una curva elíptica es un buen adecuada de morfismos $p : E \rightarrow$ S de los planes, de tal manera que la geometría de las fibras están conectados curvas de género 1, junto con una sección $e: S \rightarrow E$. La gavilla de los diferenciales de $\Omega_{E/S}$ puede ser empujado hacia adelante para obtener una gavilla de $\omega_{E/S} = p_{*}\Omega_{E/S}$ en $S$.
A continuación, se muestra cómo la $E$ puede ser embebido en el espacio proyectivo de $\mathbb{P}_S^2$, en la no-homogénea coordenadas: $ (*) espacio \\espacio espacio\\espacio y^2 + a_1 xy + a_3 y = x^3 + a_2 x^2 + a_4 x + a_6$.
Más tarde, él define las formas modulares de peso $n$ como si fuera una ley que asocia a cada curva elíptica $E \rightarrow$ S como en el anterior, una sección de $\omega_{E/S}^{\otimes n}$ en una manera que es compatible con el cambio de base. Lo siguiente que dice: la aplicación de la definición de la ecuación anterior (*), podemos ver que cualquier forma modular de peso $n$ es un polinomio de grado $n$ en la $a_i$s'. He de ver cómo eso podría tener sentido, pero agradecería si alguien podría explicar un poco más a mí cómo explícitamente derivar a esa conclusión (que son polinomios en el $a_i$'s). Gracias de antemano!
Edit: pregunta extra: para un esquema general $S$, ¿qué hacen los $a_i$'s decir? si $S = Spec(R)$, espero que sean los elementos de $R$, pero ¿qué son en el caso de un más complicado plan?
