Es una consecuencia de las siguientes expresiones algebraicas identidad
$$1+2^{2}+3^{2}+\ldots +n^{2}=\frac{1}{3}\left( n^{3}+3n^{2}+3n+1\right) -
\frac{1}{3}n-\frac{1}{2}(n^2+n)-\frac{1}{3}.$$
$$\tag{1}$$
El lado derecho es una cúbicos función de $n$: $\frac{1}{3}n^{3}+\frac{1}{2}n^{2}+\frac{1}{6}n$.
Prueba. A partir de la identidad algebraica
$$\left( 1+k\right) ^{3}=1+3k+3k^{2}+k^{3}$$
obtenemos los siguientes $n$ identidades:
$$\begin{eqnarray*}
\left( 1+1\right) ^{3} &=&1+3+3+1 \\
\left( 1+2\right) ^{3} &=&1+3\cdot 2+3\cdot 2^{2}+2^{3} \\
\left( 1+3\right) ^{3} &=&1+3\cdot 3+3\cdot 3^{2}+3^{3} \\
&&\ldots \\
\left( 1+n\right) ^{3} &=&1+3n+3n^{2}+n^{3}.
\end{eqnarray*}$$
Ahora si sumamos estas igualdades y cancelar los términos comunes, $\left(
1+1\right) ^{3}$ on the LHS of the first and $2^{3}$ en el lado derecho de la
segundo, $\left( 1+2\right) ^{3}$ en el lado izquierdo de la segunda y $3^{3}$ sobre el
RHS de la tercera, etc., y $(1+n-1)^3$ en el lado izquierdo de la segunda y última $n^3$ en el lado derecho de la última, obtenemos:
$$\left( 1+n\right) ^{3}=n+3(1+2+3+\ldots +n)+3(1+2^{2}+3^{2}+\ldots +n^{2})+1,\tag{2}$$
y $(1)$ sigue de $(2)$ y la fórmula de la suma de la progresión aritmética $$1+2+3+\ldots +n=\frac{\left( n+1\right) n}{2}.$$
(Adaptado de la Prueba 1 en esta respuesta a la pregunta de Prueba de que $\sum_{k=1}^n k^2$ = $\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$? ; ver más arriba Theo Buehler comentario.)
Nota: Este es un caso particular de la suma de $1+2^{p}+3^{p}+\ldots +n^{p}$,
que es un polinomio de grado $p+1$.
