Realmente me gustaría mostrar que la siguiente es verdadero.
"Supongamos que $X$ es un conjunto y $\theta$ es una medida exterior en $X$, y deje $\mu$ la medida en $X$ definido por Carathéodory del método. Entonces si $\theta E = 0$, $\mu$ medidas $E$."
No estoy exactamente seguro de cómo $E$ está definido, el cual podría ser el problema, pero la pregunta va a pedirme que deducir que si $E \subseteq X$ $\mu$- insignificante iff $\theta E = 0$, así que supongo que este es el mismo $E$ como en la declaración anterior.
He estado usando las siguientes definiciones y teoremas.
Definición (sigma álgebra) Deje $X$ ser un conjunto. Un *$\sigma$-álgebra de subconjuntos de a $X$ es una familia $\Sigma$ de los subconjuntos de a $X$ tal que
(i) $\emptyset \in \Sigma$;
(ii) para cada secuencia $\left< E_n \right>_{n \in \mathbb{N}}$$\Sigma$, su unión a $\bigcup _{n \in \mathbb{N}} E_n$ pertenece a $\Sigma$.
Definición (medir el espacio) Una medida de espacio es un triple $(X, \Sigma, \mu)$ donde
(i) $X$ es un conjunto;
(ii) $\Sigma$ $\sigma$- álgebra de subconjuntos de X;
(iii) $\mu : \Sigma \rightarrow [0, \infty]$ es una función tal que
(a) $\mu \emptyset = 0 $;
(b) si $\left<E_n \right>_{n \in \mathbb{N}}$ es un discontinuo de la secuencia en $\Sigma$,$\mu \left( \bigcup _{n \in \mathbb{N} } E_n \right) = \sum_{n=1}^{\infty} \mu E_n$.
En este contexto, los miembros de $\Sigma$ son llamados medibles conjuntos, y $\mu$ se llama una medida en $X$.
Definición (exterior de la medida) Deje $X$ ser un conjunto. Un exterior medida en $X$ es una función de $\theta : \mathcal{P}X \rightarrow \left[ 0 , \infty \right]$ tal que
(i) $\theta \emptyset = 0$,
(ii) si $A \subseteq B \subseteq X$$\theta A \leq \theta B$,
(iii) para cada secuencia $\left< A_n \right> _{n \in \mathbb{N}}$ de los subconjuntos de $X$, $\theta \left( \bigcup _{n \in \mathbb{N}} A_n \right) \leq \sum_{n=1}^{\infty} \theta A_n$.
Carothéodory del Método: Teorema sea X un conjunto y $\theta$ exterior medida en $X$. Conjunto
$$ \Sigma := \left\{ E \subseteq X : \theta = \theta \left (\cap E \ \ derecho) + \theta \left (\setminus E \ \ derecho) \forall \subseteq X \right\}. $$
A continuación, $\Sigma$ $\sigma$ álgebra de subconjuntos de a $X$. Definir $\mu : \Sigma \rightarrow \left[0, \infty \right]$ escrito $\mu E = \theta E$$E \in \Sigma$; a continuación, $\left( X, \Sigma, \mu \right)$ es una medida de espacio.
Creo que he seguido la prueba que tengo para el de arriba Carothéodory del Método, y tengo la sospecha de que la prueba de la declaración en cuestión, deberá seguir, pero probando en lugar de que $\left(A, \Sigma, \mu \right)$ es una medida de espacio. Tal vez la prueba es trivial? Yo simplemente no puede ver.
