Una aproximación de la teoría de campo medio al modelo de Ising da una temperatura crítica $k_B T_C = q J$ , donde $q$ es el número de vecinos más cercanos y $J$ es la interacción en el Hamiltoniano de Ising. Fijando $q = 2$ para el caso 1D da $k_B T_C = 2 J$ . Basándose en este argumento, habría una transición de fase en el modelo Ising 1D. Esto es obviamente erróneo.
¿Es la teoría del campo medio inválida para el caso 1D? ¿Me he perdido algo?
Sí, la teoría de campo medio es errónea para el caso unidimensional (y también para los casos bidimensionales y tridimensionales, en los que la transición existe pero la aproximación de campo medio obtiene la temperatura crítica y los exponentes erróneos). De hecho, es un ejercicio típico de primer curso resolver el modelo de Ising en 1D utilizando exactamente las matrices de transferencia, y te sugiero que lo investigues.
La naturaleza de la aproximación de campo medio es que asume que no hay fluctuaciones térmicas alrededor de la solución aproximada que propone (es decir, un estado con orden ferromagnético) pero en bajas dimensiones, esta aproximación es a menudo cualitativamente mal.
La teoría de campo medio del modelo de Ising resulta ser exacta en 4 dimensiones, pero las transiciones de fase más complicadas podrían no estar bien descritas por la teoría de campo medio para dimensiones aún mayores (esto se llama la "dimensión crítica superior").
¿Existe una explicación intuitiva de por qué las fluctuaciones térmicas desempeñan un papel más importante con menos dimensiones?
Debido al mapeo cuántico-clásico, podemos entender las fluctuaciones en general mediante sistemas clásicos simples que no interactúan, por ejemplo, el conjunto canónico de $N$ partículas libres en $d$ dimensiones espaciales. Del teorema de equipartición tenemos $\langle E\rangle=d/2NkT\sim dN$ . La fluctuación energética viene dada por la media del conjunto $\langle \Delta E^2\rangle=-\frac{\partial \langle E\rangle}{\partial \beta}\sim dN$ . Por lo tanto, tenemos $\sqrt{\langle \Delta E^2\rangle}/ \langle E\rangle\sim \frac{1}{\sqrt{dN}}$ es decir, la fluctuación es menor si tenemos más partículas en dimensiones superiores.
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