Un Sistema de Ecuaciones Lineales Infinitas

Question

Supongamos que $\{a_{i}\}_{i=-\infty}^{\infty}$ con $\sum_{i=-\infty}^\infty a_{i} \lt \infty$ es conocido y que $\{b_i\}_{i=-\infty}^{\infty}$ es tal que

$$\sum_{i=-\infty}^\infty a_{i}b_{-i} =1,$$

y que, para todo $k \in \mathbb Z/\{0\}$,

$$\sum_{i=-\infty}^\infty a_{i}b_{-i+k} =0.$$

¿Es posible resolver para $\{b_{i}\}_{i=-\infty}^{\infty}$ como una función de $\{a_{i}\}_{i=-\infty}^{\infty}$?

No logro descifrar por dónde empezar.

Answer 1

Nota: Esto no ayudó, pero fue divertido:

Vamos a intentar esto para una suma finita: $$ 1 = \begin{pmatrix} a_{-1} & a_0 & a_1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} b_1 \\ b_0 \\ b_{-1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{-1} & a_0 & a_1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} b_{-1} \\ b_0 \\ b_1 \end{pmatrix} $$ Para $k=1$: $$ 0 = \begin{pmatrix} a_{-1} & a_0 & a_1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ b_1 \\ b_0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{-1} & a_0 & a_1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} b_{-1} \\ b_0 \\ b_1 \end{pmatrix} $$ Esto lleva a las ecuaciones $$ a^\top D^{(k)} b = \delta_{k0} $$ para una matriz $D^{(k)}$ con componentes $$ d_{ij}^{(k)} = \delta_{(k-i)j} $$ donde también usamos índices negativos para los elementos de la matriz, teniendo así el elemento central en $d_{00}^{(k)}.

Esto conlleva a una ecuación matricial $$ A b = y $$ con $$ A = \begin{pmatrix} & \vdots & \vdots & \vdots \\ \dotsb & a_0 & a_{-1} & a_{-2} & \dotsb \\ \dotsb & a_1 & a_0 & a_{-1} & \dotsb \\ \dotsb & a_2 & a_1 & a_{0} & \dotsb \\ & \vdots & \vdots & \vdots \\ \end{pmatrix} \quad y= \begin{pmatrix} \vdots \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ \vdots \end{pmatrix} $$ y la solución formal $$ b = A^{-1} y $$ que es la columna central de $A^{-1}$.

Answer 2

Comencemos y consideremos el caso en el que las secuencias son limitadas, con índices que van de $\left[ {0,h } \right]$, es decir, traduzcamos el problema como:

$$ \left\{ \begin{gathered} a_{\;j} = 0,\;b_{\;j} = 0\quad \left| {\;j < 0\; \vee \;h < j} \right. \hfill \\ \sum\limits_{0\, \leqslant \,j\, \leqslant \,h} {a_{\;j} } < \infty \hfill \\ \sum\limits_{0\, \leqslant \,j\, \leqslant \,h} {a_{\;j} \,b_{\;k - j} } = \delta _{\;0,\,k} \quad \left| {\;0\, \leqslant \,k,\,j\, \leqslant \,h} \right. \hfill \\ \end{gathered} \right. $$

lo que significa que $\delta$ es la convolución de $a$ con $b$, que puede resolverse de forma iterativa. $$ \left\{ \matrix{ a_{\;0} \,b_{\;0} = 1 \hfill \cr a_{\;0} \,b_{\;1} + a_{\;1} \,b_{\;0} = 0 \hfill \cr \quad \vdots \hfill \cr a_{\;0} \,b_{\;h} + a_{\;1} \,b_{\;h - 1} + \; \cdots \; + a_{\;h} \,b_{\;0} = 0 \hfill \cr} \right.\quad \Rightarrow \quad \left\{ \matrix{ b_{\;0} = 1/a_{\;0} \hfill \cr b_{\;1} = - {{a_{\;1} } \over {a_{\;0} }}\,b_{\;0} = - {{a_{\;1} } \over {a_{\;0} ^2 }} \hfill \cr b_{\;2} = - {{a_{\;1} } \over {a_{\;0} }}\,b_{\;1} - {{a_{\;2} } \over {a_{\;0} }}\,b_{\;0} \, = \left( {{1 \over {a_{\;1} }} - {{a_{\;1} } \over {a_{\;0} }}} \right)\,b_{\;1} \, = - {1 \over {a_{\;0} ^2 }}\left( {1 - {{a_{\;1} ^2 } \over {a_{\;0} }}} \right)\, \hfill \cr \quad \vdots \hfill \cr a_{\;0} \,b_{\;n + 1} = - (a_{\;1} \,b_{\;n} + \; \cdots \; + a_{\;n + 1} \,b_{\;0} ) \hfill \cr} \right. $$

Pero al ser una convolución, también significa que es el producto de series de potencias (formales) unilaterales, es decir, Transformadas z unilaterales. $$ \left\{ \matrix{ A(x) = \sum\limits_{0\, \le \,k\,\left( { \le \,h} \right)} {a_{\;k} \,x^{\,k} } \hfill \cr B(x) = \sum\limits_{0\, \le \,k\,\left( { \le \,h} \right)} {b_{\;k} \,x^{\,k} } \hfill \cr A(1) = \sum\limits_{0\, \le \,k\,\left( { \le \,h} \right)} {a_{\;k} } < \infty \hfill \cr 1 = A(x)B(x) \hfill \cr} \right. $$

por lo que si $A(x)$ es un polinomio/función conocido, $B(x)$ será su recíproco, y podría resultar en una secuencia infinita

Si las secuencias son bilaterales, como propones, entonces pasamos a las Transformadas z bilaterales.

Finalmente, además de la Transformada z, también se puede considerar trabajar con las Transformadas de Fourier Discretas y/o en Tiempo Discreto.

Answer 3

Es imposible obtener la solución analítica porque se requiere calcular un método numérico. Si desea obtener la solución exacta, es necesario modificar la definición del problema. La siguiente descripción es una redefinición de la pregunta original mencionada anteriormente:

Problema: Supongamos los $[a_{i}]$ y $[b_{i}]$, y luego agregamos la nueva condición de que $b_{n+k}=b_{-n+k}$ está establecida. Luego, resolver el siguiente sistema de ecuaciones:

$$ \lim_{n \to \infty}\sum_{i=-n}^n a_{i}b_{-i+k}= \begin{cases} 1 & (k=0) \\ \\ 0 & (\text{en otro caso}) \end{cases} $$

Aquí, la convolución circular aparece en el lado izquierdo. Cuando queremos estimar la convolución infinita entre funciones no periódicas, usamos la sumatoria periódica de una señal dada. Esta operación es muy importante en el procesamiento de señales. Además, la ecuación se puede expresar mediante álgebra lineal como matrices y vectores:

$$ \mathsf{A} \ \boldsymbol{b}=\boldsymbol{v} $$

donde

$$ \mathsf{A}= \begin{bmatrix} a_{-n} & a_{n} & a_{n-1} & \cdots & a_{1-n} \\ a_{1-n} & a_{-n} & a_{n} & \cdots & a_{2-n} \\ a_{2-n} & a_{1-n} & a_{-n} & \cdots & a_{3-n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n} & a_{n-1} & a_{n-2} & \cdots & a_{-n} \end{bmatrix} $$

$$ \boldsymbol{b}= \begin{bmatrix} b_{-n} & b_{-n+1} & \cdots & b_{n-1} & b_{n} \end{bmatrix} ^{\text{T}} $$

y $\boldsymbol{v}$ es un vector lleno de ceros excepto el último elemento que es uno:

$$ \boldsymbol{v}= \begin{bmatrix} 0 & 0 & \cdots & \cdots & 0 & 1 \end{bmatrix} ^{\text{T}} $$

En particular, la matriz $\mathsf{A}$ es una matriz circulante que tiene una forma especial en una matriz Toeplitz. Luego, cada lado tiene $N=2n+1$. Además, puede ser diagonalizada y generar la matriz diagonal $\mathsf{D}$ usando la matriz DFT $\mathsf{W}$:

$$ \mathsf{W}=\cfrac{1}{\sqrt{N}} \begin{bmatrix} \omega_{0,0} & \omega_{1,0} & \omega_{2,0} & \cdots & \omega_{N-1,0} \\ \omega_{0,1} & \omega_{1,1} & \omega_{2,1} & \cdots & \omega_{N-1,1} \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \omega_{j,k} & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\ \omega_{0,N-1} & \cdots & \cdots & \cdots & \omega_{N-1,N-1} \end{bmatrix} $$

donde,

$$ \omega_{j,k}=\exp\biggl(\cfrac{2\pi i}{N}jk\biggr) \ \ \ \ (j,k=0,1,\cdots,N-1). $$

Por lo tanto, la solución explícita para $\boldsymbol{b}$ es la siguiente:

$$ \boldsymbol{b}= \mathsf{W}^{\text{T}}\mathsf{D}^{-1}\mathsf{W} \ \boldsymbol{v} $$

donde $\mathsf{D}$ es:

$$ \mathsf{D}= \begin{cases} \displaystyle \sum_{k=-n}^{n}a_{-k}\omega_{j,k} & (j=k) \\ \\ 0 & (\text{en otro caso}) \end{cases} $$

Luego, cada elemento diagonal muestra los autovalores de $\mathsf{A}$. Además, $b_{j}$ se puede expresar con la forma de expansión de la siguiente manera:

$$ b_{j+1}=\lim_{n\to \infty} \begin{bmatrix} \displaystyle \sum_{l=0}^{2n} \cfrac{w_{j,l}w_{2n,l} }{\displaystyle\sum_{k=-n}^{n}a_{-k}\omega_{j,k}} \end{bmatrix} $$