Homomorphism de $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$

Question

¿Existe un no-cero homomorphism de$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$$\mathbb{Z}$? Si sí, el estado de la asignación. Cómo es este mapa exactamente?

Answer 1

Supongamos que hay un homomorphism $f: \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$. Lo que podría $f(1)$? Vamos a llamar a $a$. A continuación,$f(2) = f(1+1) = f(1)+f(1) = a+a = 2a$, y de la misma manera $f(3) = 3a$, $\dots,$ $f(\underbrace{1+\cdots+1}_{n\text{ times}}) = na$. Pero $\underbrace{1+\cdots+1}_{n\text{ times}} = 0$, e $f(0) = 0$. Entonces, ¿qué puede $a$?

Una vez que hayas trabajado que el valor de la(s) $a$ es/son permitidos, se puede comprobar que el mapa asociado $f$ es un homomorphism? (Ya hemos hecho esto, de verdad, pero asegúrese de que usted está seguro de eso.)

Answer 2

Sugerencia: Cada elemento de a $\Bbb{Z/nZ}$ tiene orden finito.

Answer 3

Deje $\varphi : \mathbb{Z}_n \to \mathbb{Z}$ ser un homomorphism. Utilizando el teorema de isomorfismo, $\mathbb{Z}_n / \text{ker}(\varphi)$ es isomorfo a $\text{Im}(\varphi)$. Debido a $\text{Im}(\varphi) \leq\mathbb{Z}$, $\text{Im}(\varphi)= \{0\}$ o $\text{Im}(\varphi) \simeq \mathbb{Z}$; por otro lado, $\mathbb{Z}_n/ \text{ker}(\varphi)$ es necesariamente un grupo finito. Por lo tanto, $\varphi =0$.