Stokes Teorema De Ejemplo

Question

Estoy leyendo Wade Introducción a Análisis. Uno de los ejercicios es para mostrar que $$ \int_{\partial M}\sum_{k=1}^n \, dx_1dx_2\cdots \hat{dx_i}\cdots dx_n $$ es igual al volumen de $M$ si $n$ es impar y $0$ si $n$ es incluso.

Tomemos $n=3$. Entonces la integral es $$ \int_{\partial M}\,dydz+dxdz+dxdy $$ Por Stokes Teorema podemos tomar el diferencial de $$ \omega=dydz+dxdz+dxdy $$ y que la integran, sobre todo de $M$. Mi pregunta es ¿por $d\omega\neq 0$. ¿No debería estar tomando derivadas parciales de $1$, lo que supondría todos los ser $0$?

Answer 1

Creo que hay una pequeña errata en este problema, porque de hecho $$ \int_{\partial M}\sum_{i=1}^n \color{red}{x_i} \,dx_1\wedge dx_2\wedge \cdots \wedge \widehat{dx_i}\wedge \cdots \wedge dx_n = \mathrm{Vol} (M). $$ El cálculo es bastante sencillo $$ d(x_i \,dx_1\wedge dx_2\wedge \cdots \wedge \widehat{dx_i}\wedge \cdots \wedge dx_n) \\ = d x_i \wedge dx_1\wedge dx_2\wedge \cdots \wedge \widehat{dx_i}\wedge \cdots \wedge dx_n \\ = (-1)^{i-1} dx_1\wedge dx_2\wedge \cdots \wedge dx_i\wedge \cdots \wedge dx_n. $$ Al $n$ es incluso, todo lo que se cancela por la suma de $(-1)^{i-1}$ es sólo cero. Al $n$ es impar, no es $1$ plazo sobrevivido por suerte para producir ese volumen.

Como en el ejemplo: $$ \int_{\partial M}\,x\,dy\wedge dz+y\,dx\wedge dz+z\,dx\wedge dy \\ = \int_{\partial M}\,x\,dy\wedge dz - y\,dz\wedge dx+z\,dx\wedge dy \\ = \int_{ M}\,d(x\,dy\wedge dz) - d(y\,dz\wedge dx)+ d(z\,dx\wedge dy) \\ = \int_{ M}dx\wedge dy\wedge dz = \mathrm{Vol}(M). $$ No importa el término que usted elija, sólo un plazo de sobrevivir.