Grassmanians y boudaries de colectores

Question

Deje $M$ ser un liso, compacto colector sin límite. He de decir que $M$ es un límite, cuando hay un liso, compacto colector con límite de $W$ tal que $\partial W=M$. Después de algunas conferencias sé que espacios proyectivos $\mathbb{P}^{n}(\mathbb{R})$ NO boudaries exactamente al $n$ es incluso. Consideremos Grasmanians $\mathbb{G}_k(\mathbb{R}^n)$ (el espacio de todas las $k$ dimensiones de los subespacios de $\mathbb{R}^n$). Me gustaría saber cuando un Grasmanian es un límite de algunos colector?

EDIT: he corregido mi post de acuerdo con el comentario de abajo, gracias.

Answer 1

Lo primero que pensé, la tangente paquete de un Grassmannian es fácil de escribir y tan pronto como usted tiene el Stiefel Whitney clases está realizado por el famoso teorema de Thom, desde el cohomology anillo de un Grassmannian se porta muy bien (por lo tanto, es fácil calcular el SW números).

Resulta que no es tan fácil después de todo. Todavía no es difícil, pero tidious. He encontrado la siguiente es una buena referencia para obtener una visión general (tenga en cuenta que el relevante papel mencionados en allí demostró la correspondiente cosas) "Cobordism independencia de Grassmann colectores", A. Das.

Para responder a su pregunta: $G_kR^n$ es el límite iff $v(k)<v(n)$ donde $v: \mathbb N \to \mathbb N$ está dado por $v(a) = \max \{r: 2^r|a\}$.