Grupo simétrico $S_n$ es completa

Question

Yo soy sólo la comprobación de algunas de las propiedades del grupo simétrico y encontrar en Wikipedia la afirmación de que "por el Contrario, para $n \neq 6$, $S_n$ no tiene exterior automorfismos, y para $n \neq 2$ no tiene centro, por lo que para $n \neq 2, 6$ es un grupo completo, como se discutió en la automorphism grupo, a continuación."

Yo podría mostrar que $Z(S_n)=\epsilon$, pero ¿sabes una sencilla prueba para $\mathrm{Aut}(S_n)=\mathrm{Inn}(S_n)$ ?

Answer 1

Lema. Deje $\mathrm{Aut}(G)$ ser el automorphism grupo de un grupo de $G$ $\mathrm{cl}(G)$ el conjugacy clases de elementos de $G$. A continuación, $\mathrm{Aut}(G)$ actúa en $\mathrm{cl}(G)$.

Explicación. Deje $\alpha$ ser un automorphism de $G$ $\mathrm{cl}(a)=\{gag^{-1}:g\in G\}$ la clase conjugacy de $a$. A continuación, $\alpha(\mathrm{cl}(a))=\{\alpha(g)\alpha(a)\alpha(g)^{-1}:g\in G\}=\{t\alpha(a)t^{-1}:t\in G\}=\mathrm{cl}(\alpha(a))$ es también una clase.

Lema. Si $\alpha\in\mathrm{Aut}(S_n)$ estabiliza la clase conjugacy de transposiciones, a continuación, $\alpha\in\mathrm{Inn}(S_n)$ es la interior.

Prueba. Queremos mostrar un elemento $\sigma\in S_n$ tal que $\alpha(g)=\sigma g\sigma^{-1}$ por cada $g$. Basta con encontrar una $\sigma$ que $\alpha(\tau)=\sigma \tau\sigma^{-1}$ es válido para cada transposición $\tau$, ya que cada permutación es un producto de transposiciones. Además, es suficiente para encontrar un $\sigma$ que $\alpha(1k)=\sigma(1k)\sigma^{-1}$ por cada $1< k\le n$, ya que estos $n-1$ transposiciones de generar todas las demás.

Elegir distintos $1<\ell_1,\ell_2\le n$. A continuación, $\rho=(1\ell_2\ell_1)=(1\ell_1)(1\ell_2)$ orden $3$, en cuyo caso $\alpha(1\ell_1)\alpha(1\ell_2)$ ha pedido tres así. Sin pérdida de generalidad, $\alpha(1\ell_1)=(ab)$ $\alpha(1\ell_2)=(ac)$ algunos $a,b,c$; ya que esto tiene para cada par distinto $\ell_1,\ell_2$, encontramos que para cada $k$, $\alpha(1k)=(af(k))$ para algunos $f(k)$.

Deje $\sigma$ enviar $1$ $a$ $k$ % # % por cada $f(k)$. Esta permutación satisface nuestros requisitos.

Lema. Para $k>1$, la clase de transposiciones es la única clase de involuciones con $n\ne6$ elementos.

Prueba. Considerar la clase de involuciones con el tipo de ciclo de un producto de ${n\choose2}$ ciclos disjuntos. Supongamos que

$k>1$$

El lado izquierdo es el tamaño de la nueva clase conjugacy. Establecimiento $$\frac{1}{k!}{n\choose 2}{n-2\choose2}\cdots{n-2(k-1)\choose2}={n\choose2}.$$m=n-2$, la cancelación de $k=r+1$s,

${n\choose2}$$

El LHS es telescópica. Multiplicar por $${m\choose2}\cdots{m-2(r-1)\choose2}=(r+1)!$ y obtener

$2^r/(2r)!$$

Para $${m\choose2r}=\frac{(r+1)!2^r}{(2r)!}=\frac{r+1}{(2r-1)!!}$ la RHS no es ni siquiera un entero (es $r>2$). El caso de $<1$ da $r=1$ sin solución en $m(m-1)=4$. Finalmente, $m$ da $r=2$ que tiene solución positiva $m(m-1)(m-2)(m-3)=24$.

Teorema. Para $4$, $n\ne6$.

Prueba. Combinar los tres lemas. Al $\mathrm{Out}(S_n)=1$, automorfismos permutar clases conjugacy y, en particular, estabilizar la transposición de la clase (ya que el tamaño de esta clase es única entre las clases), por lo tanto todos los automorphism es la interior.

Observación. Esta prueba es una adaptación de este boceto de la Wikipedia y de estas notas.