débil consecuencia de GCH

Question

Puede ZFC demostrar que no es un habitual de innumerables cardenal $\kappa$ tal que $2^{<\kappa} < 2^\kappa$?

Nota, si la respuesta es no, se requeriría de una fuerte global de la violación de la CÉDULA, por lo que grandes cardenales a la fuerza de este.

Por otro lado, puede ser cierto para una sencilla razón, pero no he encontrado uno. Pero yo hice la figura bajo la suposición de que no hay ninguna débil inaccessibles.

Answer 1

Se señaló a mí por Emil en mathoverflow que mi argumento bajo el supuesto de "no débil inaccessibles" pasa a través sin que esa suposición. He aquí el argumento:

Asumen ante la contradicción de que todos los $\kappa$, $2^{<\kappa} = 2^\kappa$. Denotar $\mathfrak{c} = 2^\omega$. Llegaremos a una contradicción mostrando que $2^\alpha = \mathfrak{c}$ todos los $\alpha$, por inducción.

Supongo que esto tiene para todos los $\beta < \alpha$, e $\alpha$ es regular. Por hipótesis, $2^\alpha = 2^{<\alpha} = \mathfrak{c}$. Ahora supongamos $\alpha$ es singular. Tenemos una fórmula general $2^\alpha = (2^{<\alpha})^{cf(\alpha)}$ (ver Jech Capítulo 5). En este caso tenemos a $2^\alpha = \mathfrak{c}^{cf(\alpha)} = (2^\beta)^{cf(\alpha)} = 2^\beta = \mathfrak{c}$ algunos $\beta < \alpha$.

Por cierto, esto se generaliza a mostrar que para cada $\alpha$, hay un regular $\kappa \geq \alpha$ tal que $2^\kappa > 2^{<\kappa}$.