¿El vector cero tiene una dimensión cero?

Question

Sé que esto suena como una pregunta sarcástica, pero sólo quiero organizar y aclarar lo que he estudiado.

Para un $n \times n$ matirx $A$ tiene columnas independientes cuando el espacio nulo sólo tiene un vector cero. Y las columnas independientes significan $A$ tiene rango $n$ por lo tanto, según el teorema de rango, el espacio nulo tiene dimensión cero. Es decir, el vector cero es de dimensión cero, ¿correcto?

Y una cosa más. Quiero mostrar que $\lbrace Av_1,...,Av_n \rbrace$ span $R^n$ cuando $\lbrace v_1,...,v_n \rbrace$ forman una base. ¿El teorema de la dimensión se usa aquí? Si es así, ¿cómo puedo mostrar que $\lbrace Av_1,...,Av_n \rbrace$ span $R^n$ ?

Answer 1

Sí, pero aquí hay un pequeño detalle: Un vector no tiene una dimensión, quieres decir que el subespacio abarcado por el vector cero tiene dimensión cero.

Para la segunda pregunta puedes utilizar el teorema de nulidad de rango. Se tiene $\mathrm{dim} \mathrm{ker} A = 0$ y por lo tanto $\mathrm{dim} \mathrm{im} A = \mathrm{dim}R^n - \mathrm{dim} \mathrm{ker} A = \mathrm{dim}R^n$ de ahí que el $v_i$ span $R^n$ .

Answer 2

El concepto de dimensión se aplica a los conjuntos de vectores, en particular a los subconjuntos de espacios vectoriales que también son subespacios. Así, es más apropiado decir que el subespacio formado por el vector cero tiene dimensión cero.

Si usted está asumiendo que $A$ es una matriz cuadrada y tiene columnas independientes, tiene rango máximo. Una matriz con rango máximo es invertible y el mapa lineal inducido por la multiplicación a la izquierda por $A$ es un isomorfismo. Los isomorfismos siempre asignan una base a otra base.