Es $\mathbb{Z}[x]$ principal ideal de dominio?

Question

Es $ \mathbb{Z}[x] $ principal ideal de dominio? Desde la definición estándar de la principal ideal de dominio es muy difícil de utilizar. Me podrían dar algunas condiciones equivalentes a las de por si un anillo es una de las principales ideales de dominio?

Answer 1

Si $\Bbb Z[X]$ eran de un director de ideal de dominio, a continuación, su cociente por el ideal generado por a$~X$, un elemento que es, obviamente, irreductible, tendría que ser un campo. Pero está claro que $\Bbb Z[X]/(X)\cong\Bbb Z$ que no es un campo.

Answer 2

Sugerencia: Considere el ideal $(2, x)$. Mostrar que no es principal.

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Supongamos $(2, x) = (p(x))$ para algunos polinomio $p(x) \in \mathbb Z[x]$. Desde $2 \in (p(x))$, $2 = p(x) q(x)$ para algunos polinomio $q(x)\in \mathbb Z[x]$. Desde $\mathbb Z$ es una parte integral de dominio, tenemos $\operatorname{degree} p(x)q(x) = \operatorname{degree}p(x) + \operatorname{degree}q(x)$. Así, tanto el $p(x)$ $q(x)$ debe ser constante. Las únicas opciones posibles para$p(x)$$\{\pm 1, \pm 2\}$. Cada posibilidad da una contradicción. Voy a dejar que muestran esto.

Answer 3

Aquí es un resultado general:

Si $D$ es un dominio, entonces $D[X]$ es un PID iff $D$ es un campo.

Answer 4

No. Considerar el ideal de $(2, x)$. En general, $F[x]$ es PID) si y sólo si $F$ es un campo. Entero conjunto, no es un campo.