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Es Z[x] principal ideal de dominio?

Es Z[x] principal ideal de dominio? Desde la definición estándar de la principal ideal de dominio es muy difícil de utilizar. Me podrían dar algunas condiciones equivalentes a las de por si un anillo es una de las principales ideales de dominio?

68voto

GmonC Puntos 114

Si Z[X] eran de un director de ideal de dominio, a continuación, su cociente por el ideal generado por a X, un elemento que es, obviamente, irreductible, tendría que ser un campo. Pero está claro que Z[X]/(X)Z que no es un campo.

47voto

John R. Strohm Puntos 1559

Sugerencia: Considere el ideal (2,x). Mostrar que no es principal.


Supongamos (2,x)=(p(x)) para algunos polinomio p(x)Z[x]. Desde 2(p(x)), 2=p(x)q(x) para algunos polinomio q(x)Z[x]. Desde Z es una parte integral de dominio, tenemos degreep(x)q(x)=degreep(x)+degreeq(x). Así, tanto el p(x) q(x) debe ser constante. Las únicas opciones posibles parap(x){±1,±2}. Cada posibilidad da una contradicción. Voy a dejar que muestran esto.

16voto

lhf Puntos 83572

Aquí es un resultado general:

Si D es un dominio, entonces D[X] es un PID iff D es un campo.

14voto

RMAAlmeida Puntos 245

No. Considerar el ideal de (2,x). En general, F[x] es PID) si y sólo si F es un campo. Entero conjunto, no es un campo.

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