Si $M$ es una matriz simétrica positiva-definida, ¿es posible obtener una positivo límite inferior del menor valor propio de $M$ en términos de una norma matricial de $M$ o elementos de $M$ ? Por ejemplo, quiero $$\lambda_{\text{min}} \geq f(\lVert M \rVert)$$ o algo así.
$M$ es una matriz de Gram, si eso ayuda. Gracias.
Hay un límite inferior para el valor propio mínimo de la matriz simétrica p.d. que se da en [Applied Math. Sc., vol. 4, no. 64] que se basa en la norma de Frobenius (F) y la norma euclidiana (E)
$$ \lambda_{min} \gt \sqrt{\frac{||A||_F^2-n||A||_E^2}{n(1-||A||_E^2/|det(A)|^{2/n})}} $$
si ayuda.
[referencia]: K. H. Schindler, "A New Lower Bound for the Minimal Singular Value for Real Non-Singular Matrices by a Matrix Norm and Determinant", Journal of Applied Mathematical Sciences, Vol. 4, No. 64, 2010.
En lugar de volver a publicar (con los mismos "errores", por lo que veo), podrías haber editado este, tu post original. Ver el enlace "editar" justo debajo de la Respuesta. Adiviné el paréntesis erróneo en el denominador; por favor, comprueba que es correcto.
@Saeed ¡Gracias por esto! ¿Hay alguna posibilidad de que puedas encontrar el artículo en Google Scholar y publicar un enlace? No lo encuentro por ninguna parte (no sé si Sc. es la abreviatura de algo...)
Un comentario rápido: Si tienes dominancia diagonal, entonces Teorema del círculo de Gerhsgorin para los valores propios te dará al menos algo. Así que para cada fila, reste el término diagonal de la suma de los valores absolutos de los términos fuera de la diagonal, y tome el mínimo sobre las filas. Eso es un límite en el valor propio que será positivo (de nuevo, si usted tiene la dominación diagonal, que puede no tener para todas las matrices de Gram).
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Hola @ampeo, ¿has encontrado la respuesta? Tengo la misma pregunta y todos los límites que consigo son negativos, lo que no tiene ningún sentido para una matriz PD.
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Existe un límite obvio en términos de la norma del operador de $M^{-1}$ Por supuesto.
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Como escribió el usuario7530, $\lambda_{min}$ depende esencialmente de $M^{-1}$ . Además para encontrar una desigualdad de la forma $\lambda_{min}\geq f(||M||)$ está más allá de toda esperanza. Por ejemplo, dejemos $A_{\epsilon}=diag(1,\epsilon)$ . Deberíamos obtener, por cada $\epsilon >0$ , $\epsilon\geq f(1)$ (para $||.||_2$ ).
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Los límites inferiores del menor valor propio de una matriz definida positiva están relacionados con las estimaciones del número de condición, para lo cual véase mi respuesta a una pregunta de SciComp.SE .