Deje $\lbrace \tau_n:n\in \mathbb{N}\rbrace$ ser ascendente de la cadena de topologías sobre un conjunto no vacío $X$. A continuación, se $\bigcup\limits^{\infty}_{n=0}\tau_n$ una topología en $X$?
Tengo una fuerte noción de que no puede ser una topología. Pero no estoy recibiendo el buen ejemplo contrario. Por favor, ayudar. Sé que esto debe ser una topología de si la colección es finito.
(En lugar de simplemente dar un contraejemplo, vamos a caminar a través del enfoque que debe tomar en una situación como esa.)
Esto requiere simplemente para comprobar los tres axiomas de la topología. Tomemos cualquier cadena de topologías, no sólo countably infinito. Así que tenemos $\tau=\bigcup_{i\in I}\tau_i$, que es un aumento de la cadena de topologías en $X$.
Recordar a los axiomas.
El primero es obviamente cierto, y la segunda es también bastante fácil, dado un número finito de $U_i$ hay $\tau_i$ tal que $U_i\in\tau_i$. Por lo tanto, en el máximo de la $\tau_i$'s de todos los conjuntos que aparecen, y también lo hace su intersección.
Pero, ¿y el tercero? Dada una colección arbitraria de abiertos conjuntos, si pudiéramos tener un límite en la cadena, es decir, encontrar una topología que contiene de todo, que nos hicieron. Pero lo que si se elige uno de cada topología (que no aparecen antes)? A continuación, nos puede meter en problemas. Vamos a usar esto para construir un contraejemplo!
Considere la posibilidad de $X=\Bbb R$, y deje $\tau_i$ $i\in\Bbb N$ ser la topología que se genera a partir declarando que $\{j\}$ $j<i$ están abiertos conjuntos. Por lo $\tau_0$ es la topología trivial, y $\tau_1$ contiene sólo $\{0\}$ como un trivial conjunto abierto, y así sucesivamente.
Deje $\tau$ ser la unión de $\tau_n$, y considerar la colección de $\{\{n\}\mid n\in\Bbb N\}$. Cada $\{n\}\in\tau_n$, por lo que esta toda la colección es una colección de elementos de $\tau$. Pero su unión es $\Bbb N$. No es difícil, en todo, para mostrar que la pone en $\tau_n$ son finitos, para cada $n$ (con la excepción de $X$ del curso). Por lo tanto, en la unión no es infinito conjunto abierto (de nuevo, con la excepción de $X$). Por lo $\Bbb N$ no $\tau$, lo $\tau$ no es una topología.
Esta es una adición a Asaf la respuesta y Pete comentario.
Supongamos que $\tau=\bigcup_{n\in\Bbb N}\tau_n$ es no una topología en $X$. Entonces, como se señaló en el Asaf la respuesta, debe ser algo de familia $\mathscr{U}\subseteq\tau$ tal que $\bigcup\mathscr{U}\notin\tau$, ya que el resto de los requisitos para $\tau$ a ser una topología son sin duda cumplió.
Para cada una de las $n\in\Bbb N$ deje $\mathscr{U}_n=\mathscr{U}\cap\tau_n$, y deje $U_n=\bigcup\mathscr{U}_n$; a continuación,$U_n\in\tau_n$, e $\bigcup\mathscr{U}=\bigcup_{n\in\Bbb N}U_n\notin\tau$. Tenga en cuenta que $\mathscr{U}_n\subseteq\mathscr{U}_{n+1}$, ya que el $\tau_n\subseteq\tau_{n+1}$, lo $U_n\subseteq U_{n+1}$ por cada $n\in\Bbb N$. Por lo tanto, un contraejemplo a la conjetura de que $\tau$ es una topología en $X$ pueden ser tomadas a consistir en un no-decreciente nido $\{U_n:n\in\Bbb N\}\subseteq\tau$ tal que $U_n\in\tau_n$ por cada $n\in\Bbb N$, pero $\bigcup_{n\in\Bbb N}U_n\notin\tau$.
Por supuesto, una manera muy sencilla de construir un ejemplo de esto es dejar a $U_n=\{k\in\Bbb N:k<n\}$, tome $X=\Bbb N\cup\{p\}$ donde $p\notin\Bbb N$, y deje $\tau_n=\{\varnothing,X\}\cup\{U_k:k<n\}$ por cada $n\in\Bbb N$: desde $\Bbb N\notin\bigcup_{n\in\Bbb N}\tau_n$, $\tau$ no es una topología en $X$. Este es, en cierto sentido, un mínimo de contraejemplo.
Puede evidentemente ser adaptado a lo largo de las líneas de Asaf, de la construcción para construir un ejemplo a partir de cualquier espacio de $\langle X,\sigma\rangle$ que contiene un countably conjunto infinito $A$ que no está abierto: sólo enumerar $A=\{a_k:k\in\Bbb N\}$, y para $n\in\Bbb N$ deje $U_n=\{a_k:k<n\}$$\tau_n=\sigma\lor\{U_k:k<n\}$, la topología generada por la subbase $\sigma\cup\{U_k:k<n\}$. Si $\sigma$ es $T_1$, $\tau_n$ será la topología discreta en $U_n$, y este será, precisamente, a Asaf la construcción en el caso de $X=\Bbb R$ $\sigma$ la topología Euclidiana y $A=\Bbb N$.
Aquí hay algo un poco similar que estoy bastante seguro de que funciona.
Deje $\alpha$ ser un límite infinito ordinal.
Para cada una de las $\beta<\alpha$, vamos a $\tau_\beta$ ser la topología en $\alpha^+$ generado por la indiscreta topología en $\beta$.
A continuación,$\alpha = \bigcup \{\beta\mid \beta<\alpha\}$, pero $\alpha$ no está abierto en cualquier $\tau_\beta$.
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