Esta es una referencia de la solicitud. A continuación es un preludio a las principales preguntas.
Deje $n$ ser un entero positivo. Caracterizar todos los subconjuntos de a $\Omega$ $\mathbb{R}^n$ de manera tal que cualquier función continua $f:\Omega\to\mathbb{C}$ se puede extender a una función continua $F:\mathbb{R}^n\to\mathbb{C}$. Aquí, $\Omega$ hereda la topología de subespacio de $\mathbb{R}^n$, y, por supuesto, $\mathbb{R}^n$ $\mathbb{C}$ están equipados con sus topologías estándar.
La respuesta a la pregunta anterior es que $\Omega$ debe ser un subconjunto cerrado de $\mathbb{R}^n$. Un poco más generalizada pregunta es la siguiente.
La pregunta que yo: ¿Qué son todos los subconjuntos de a $\Omega$ a de un espacio topológico $X$ de manera tal que cualquier función continua $f:\Omega\to \mathbb{C}$ puede ser ampliado continuamente a $F:X\to\mathbb{C}$? Como de costumbre, $\Omega$ está equipado con la topología de subespacio heredado de $X$.
Por supuesto, sin ningún agradable propiedades en $X$, parece imposible hacer una caracterización de dichos subespacios $\Omega$. Por lo tanto, con algunas propiedades adicionales de la topología de $X$, la respuesta puede ser completamente conocido.
Sé que, si $X$ es normal, entonces todos los subconjuntos cerrados $\Omega$ $X$ tienen la propiedad requerida, utilizando la Extensión de Tietze Teorema. Hay un ejemplo normal de un espacio topológico $X$ que contiene un no-cerrada subconjunto $\Omega$ de manera tal que cualquier función continua $f:\Omega\to\mathbb{C}$ tiene una extensión continua a $X$?
Pregunta II: de manera más general, vamos a $X$ $Y$ ser espacios topológicos. Encontrar todos los extensible subconjuntos $\Omega$ $X$ , es decir, todos los subconjuntos de a $\Omega\subseteq X$ de manera tal que cualquier función continua $f:\Omega\to Y$ puede ser ampliado continuamente a $F:X\to Y$.
Por supuesto, la amabilidad de restricciones en $X$ $Y$ puede ser necesaria para una completa caracterización. Por ejemplo, si $X$ es un espacio métrico, $Y$ es un subconjunto convexo de un localmente convexo espacio vectorial topológico, y $\Omega$ es un subespacio cerrado de $X$, entonces cualquier función continua $f:\Omega\to Y$ se puede extender a una función continua $F:X\to Y$. Véase, por ejemplo, aquí (aunque no hay ninguna mención de que los conjuntos cerrados son todos los conjuntos).
Este documento discute fuertemente buenos pares, es decir, pares de $(X,Y)$ de los espacios topológicos que cada $\Omega\subseteq X$ es extensible. También se explica buenos pares, es decir, pares de $(X,Y)$ de los espacios topológicos tal que, para cada $\Omega\subseteq X$ y para cualquier función continua $f:\Omega\to Y$, existe una función de $F:X\to Y$ extender $f$ tal que $F$ es continua en cada punto en $\Omega$. Esto me da una idea para mi última pregunta.
Pregunta III: Vamos a $X$ $Y$ ser espacios topológicos. ¿Cuáles son débilmente extensible subconjuntos $\Omega$ $X$ , es decir, subconjuntos $\Omega\subseteq X$ tal que, para cualquier función continua $f:\Omega\to Y$, existe una función de $F:X\to Y$ extender $f$ tal que $F$ es continua en cada punto en $\Omega$. Vamos a llamar a una extensión $F$ débilmente continua extensión de $f$ (en relación al $\Omega$).
En el caso de que $X=\mathbb{R}^n$ algunos $n\in\mathbb{N}$$Y=\mathbb{C}$, se sabe que cualquier subconjunto $\Omega$ $X$ es débilmente extensible. De hecho, si $Y$ es localmente compacto Hausdorff espacio y $X$ es metrizable, entonces $(X,Y)$ es un buen par de. ¿Qué otros recursos donde una caracterización completa de débilmente extensible subconjuntos es conocido?
