Aproximar el valor de una suma poco a poco convergiendo de $\sum|\sin n| ^ n/n$

Question

En esta pregunta en De matemáticas.SE parece esta suma: $$ S = \sum_{n\geq1}s_n, \qquad s_n = \frac{|\pecado n|^n}{n}, $$ que converge muy lentamente. ¿Qué métodos sugeriría usted para evaluar numéricamente?

Lo que he conseguido hacer es insatisfactorio. Escoge un límite de $M$, y aproximado el resto de la suma de más de $n\geq M$ usando $$ \frac{|\pecado n|^n}{n} \approx \frac1\pi\int_0^\pi \frac{|\pecado t|^n}{n}\,dt = T_n, $$ a continuación, escribir $$S_M = \sum_{1\leq n<M}s_n + \sum_{n\geq M}T_n. $$ La infinita suma de más de $T_n$ tiene una forma cerrada en términos de la generalizada funciones hipergeométricas.

Traté de Mangos y Cohen-Villegas-Zagier convergencia de aceleración técnicas (en mpmath) que se aplica a $S_{10^6k}$ y $S_{10^7k}$, $1\leq k\leq10$, pero ellos no trabajan bien, dando valores de alrededor de $10^{-3}$ lejos de cada uno otros ($2.151$). Cuando traté de ajuste $$ S_M = S_\infty + b M^\alpha $$ por $M=\{1,2,3\}\times 10^7$, tengo $\alpha=-\frac12$ y $$ S_\infty = 2.1509. $$

Esta es sólo cinco dígitos con $10^7$ términos. Hay un método mejor?

EDITAR Los valores de $S_{10^6\{1\ldots10\}}$ son:

Z6 = [2.1503320981264467, 2.1504796881940735, 2.150563926321965,
      2.150601535111673, 2.1506361337302553, 2.1506605927579456,
      2.15067535745342, 2.150691134235195, 2.1507008825140925,
      2.1507120293097395]

Los valores de $S_{10^7\{1\ldots10\}}$ son:

Z7 = [2.1507120293097395, 2.1507656995403974, 2.1507894767527613,
      2.1508036508488018, 2.1508133237402696, 2.150820463977797,
      2.1508260133696635, 2.1508304866069095, 2.150834191855564,
      2.1508373250787898]

Los valores de $S_{1+10^8\{1\ldots10\}}$ son:

Z8 = [2.1508373250785855, 2.1508542694443973, 2.1508618019128343,
      2.150866279387301, 2.150869344143939, 2.1508715999897547,
      2.150873358367117, 2.1508747716998142, 2.1508759457833806,
      2.1508769361805817]

La principal razón por la que digo que la convergencia de aceleración parece fallar es que da resultados algo diferentes (error $\sim 10^{-3}$) por us $Z_6$ y $Z_7$. El modelo simple de arriba da el mismo resultado (cinco dígitos), pero la introducción de la siguiente forma asintótica plazo y tratando de adaptarse a $S_\infty+b_1 M^{-1/2}+b_2 M^{-3/2}$ que hace que las dos series de acuerdo un poco menos, no más.

EDITAR en el momento del montaje de $S_\infty+b M^{-1/2}$ con menos plazas una cosa a tener en cuenta es que el estimado de $Z_7$ se encuentra a dos estimado de los errores estándar de la estimación por $Z_6$, así que no estoy seguro de lo preciso que es. El mejor valor estimado de $Z_7$ parece $2.150895272(1)$, pero esto podría ser inexacta.

EDITAR La suma de $\sum_{n\geq m}T_n$ se comporta como $m^{-1/2}$ como $m\to\infty$, y está dada por $$ \frac{\Gamma(m)}{\pi 2^m}\left(\frac{2}{\Gamma(1+\frac m2)^2}F\left( \begin{array}{c} 1,\frac{1+m}{2},\frac m2\\1+\frac m2,1+\frac m2 \end{array}\right) + \frac{m}{\Gamma(\frac{3+m}{2})^2}F\left(\begin{array}{c} 1,\frac{1+m}{2},1+\frac m2\\ \frac{3+m}{2},\frac{3+m}{2}\end{array} \right) \right). $$

Answer 1

Por ejemplo, para obtener la suma con un error no muy por encima de $10^{-20}$, me gustaría resumir sólo aquellos valores que hacen una contribución mayor de $10^{-20}/$ n. Y eso es bastante simple, porque $|pecado(n)|^n$, mientras que ser mayor de $10^{-20}$ sólo si $|pecado(n)|>10^{-20/n}$ o si $|pecado(n)|>1 - 46.05 /n$, y para decir que n > 1,000,000, estos n son muy raros y podría encontrarse decir, usando el algoritmo de Euclides - son todos los enteros n cerca de impares múltiplos de $pi/2$.

Además: $|pecado(n)|>1 - 46.05 /n$ ffi $|cos (n)|>9.6 n^{-1/2}$, y que es acerca de cómo cerca de n sería una extraña múltiplo de $pi/2$. Así que esto es menos raro de lo que yo esperaba - pero todavía bastante raro cuando $n >= 10^9$, por ejemplo. Y enteros consecutivos que están cerca de los impares múltiplos de $pi/2$ son muy fáciles de encontrar con una ligera adaptación de Euclides del algoritmo. Por lo que el esfuerzo para calcular la suma de n crece sólo con $n^{1/2}$, lo que significa que la adición de hasta decir $n=10^{24}$ o así es factible.

Y luego, por supuesto, la extrapolación puede ser utilizada para mejorar el resultado.

PS. Haciendo la suma usando mucho tiempo doble (64 bits de precisión), sólo hay 2,296 valores de n entre $30*10^9$ y $30.1*10^9$ donde el pecado(n) está lo suficientemente cerca a ± 1, de modo que la suma en realidad se cambia, que es menos de uno de 43,000 valores. Escoger sólo aquellos valores que hacer el cálculo, obviamente, mucho más rápido.