$f(z)=\bar{z}$ no tiene primitiva

Question

Como consecuencia de Goursat del Teorema, podemos demostrar que cada holomorphic función en un disco abierto ha primitivo.

Pregunta: ¿Es cierto que toda función continua $f\colon D\rightarrow \mathbb{C}$ ha primitiva? [D=abrir el disco en $\mathbb{C}$]

La respuesta creo que es "NO". Pero mi explicación implica el uso de algunos de los más importantes teoremas. El ejemplo que he pensado es $f(z)=\overline{z}$. Si esto $f$ ha primitivo, a continuación, $f$ tiene que ser holomorphic, una contradicción.

El problema me gustaría preocupación aquí es la siguiente:

Problema: ¿se Puede dar un elemental argumento de que $f(z)=\overline{z}$ no tiene primitiva en disco?

(Quiero evitar el teorema de que "una función compleja que, una vez diferenciable es infinitamente muchas veces diferenciable").

Answer 1

Tomar un abrir disco alrededor de $z_0$. A continuación puede encontrar $\varepsilon>0$ de manera tal que el camino cerrado $$ \gamma: \phi\in[0,2\pi] \mapsto z_0 + \varepsilon e^{i\phi}$$ está dentro del disco.

Ahora tenga en cuenta que $$\oint_\gamma \barra z dz = i \epsilon\int_0^{2\pi} (\bar z_0 + \epsilon e^{-i\phi}) e^{i\phi} d\phi = i \epsilon^2 \int_0^{2\pi} d\phi = 2\pi i \epsilon^2 \ne0.$$ Sin embargo, para $\bar z$ tener una primitiva de esta integral debería ser $0$ ya que el camino está cerrado.

Answer 2

La prueba de @Fabian es la moralmente correcta: de hecho, para encontrar la antiderivada de una función de $f(z)$ uno necesita integrar a $\int^z f(\zeta) d \zeta$ desde que el complejo de Leibniz-Newton de la fórmula

$$F'=f \implies \int_a^b f(\zeta) d \zeta = F(b) - F(a)$$

además, la integral no debe depender de la ruta.

Otro enfoque: asumir que no existe $F$$F'(z) = f(z)$. Esta es una de derivados complejos. Ahora podemos utilizar la real derivadas parciales y concluir:

\begin{eqnarray} \frac{\partial F}{\partial z} &=& f(z)\\ \frac{\partial F}{\partial \bar z} &=&0 \end{eqnarray}

A partir de las ecuaciones anteriores se deduce de inmediato que si $f$ es de clase $C^k$ $F$ es de clase $C^{k+1}$. Decir $f$ es de clase $C^1$; obtenemos

$$\frac{\partial f}{\partial \bar z} = \frac{\partial }{\partial \bar z}\frac{\partial F}{\partial z}= \frac{\partial }{\partial z}\frac{\partial F}{\partial \bar z}=0$$ debido a que los operadores $\frac{\partial }{\partial z}$, $\frac{\partial }{\partial \bar z}$ de camino al trabajo.

Ahora note que $\frac{\partial \bar z}{\partial \bar z}\equiv 1$