Mostrando Grado $1$ Mapas Inducir Surjections en $\pi_1$

Question

Estoy ejecutando un examen de calificación de curso de preparación. Una pregunta que me hice a mis alumnos:

Supongamos que $M$ $N$ son compactos, orientado colectores e $f:M\longrightarrow N$ es de grado $1$. Mostrar que $f_*:\pi_1(M)\longrightarrow \pi_1(N)$ es un surjection.

Un estudiante se me acercó con la siguiente:

Hay algunos que cubren el espacio, $p:E\longrightarrow N$ $N$ que corresponde al subgrupo $f_*(\pi_1(M))\leq \pi_1(N)$. La elevación de la propiedad nos da $\tilde{f}:M\longrightarrow E$, de modo que $p\circ\tilde{f}=f$. Luego argumentó que $p$ tiene el grado el número de hojas de la cubierta.

Su definición de grado es tomar la preimagen de un punto de $y\in N$, y determinar para cada una de las $x\in f^{-1}(y)$ si o no que es la orientación invertida. Esto lleva a un problema en mi etapa de estudiante de la solución: ¿qué pasa si hay un número infinito de hojas en la cubierta? A continuación, el título no está muy definido. Si hemos tenido la homología de la definición de la integral o la definición del grado, esto es fácil de arreglar. Hay un argumento en torno a esto? Si no, hay otra solución mediante su definición?

Answer 1

Teorema. Deje $M,N$ ser cerrado,conectado,orientado,suave colectores de la misma dimensión.Deje $f:M\to N$ ser un suave mapa. Deje $\:p:E\to N$ ser la cubierta de proyección correspondiente a la imagen de $\pi_1(M)$ bajo la homomorphism inducida fundamentales de los grupos, por $f$, $i$ hojas. Deje $\:\tilde f:M\to E$ ser el levantamiento de $f$; por lo $\:f=p\circ\tilde f$.
a) Si $i$ es finito, entonces $\deg f$ es divisible por $i$.
b) Si $i$ es infinito,$\deg f=0$.

Prueba sin (co)homológica herramientas. a) sigue por el teorema sobre el grado de mapas compuestos.
b) Vamos a $y\in N$ regular valor de $f$. El conjunto $\:Z=\tilde f(M)\cap p^{-1}(y)$ es finito como compacto y discreto. Cada punto de $z\in Z$ es un valor regular de $\tilde f$ $p$ es un local diffeomorphism, en concordancia con las orientaciones de la $E$$N$. El colector $E$ no es compacto, por lo $\:0=\deg \tilde f =\deg (\tilde f ;z)$ por cada $z\in Z$. El conjunto $\:f^{-1}(y)$ es distinto de la unión de $\:\tilde f^{-1}(z)$$z\in Z$, lo $\:\deg f=0$ como el finito suma de $\deg(\tilde f;z)=0$$z\in Z$.

Answer 2

Siento revivir un aparentemente muertos pregunta, pero ahí va. Como el OP, dijo, no es $p:E\rightarrow N$ $N$ que corresponde al subgrupo $H=f_{*}(\pi_{1}(N)$. La elevación de la propiedad nos da $\phi:M\rightarrow E$, de modo que $p\circ \phi=f$.

Dado que el grado es multiplicativo y siempre un número entero, entonces $deg(p)deg(\phi)=deg(f)=1$ por lo tanto los grados de los dos mapas deben ser $1$ (o $-1$, pero eso no hace ninguna diferencia). Ahora, el grado de cubrimiento mapa es el número de hojas, por lo $p$ es una sábana.

Entonces, la última pieza es el teorema que para cubrir mapa, el número de hojas es igual al índice del subgrupo de la cubierta (teorema de 40.G en el enlace de abajo), por lo tanto $H$ índice de $1$, por lo tanto, es la de todo el grupo.
http://www.pdmi.ras.ru/~olegviro/topoman/spa-libro-nopfs.pdf