¿Esta secuencia de operadores converge en norma o de forma fuerte?

Question

Sea $H$ un espacio de Hilbert y $\mathcal{L}(H)$ el conjunto de todos los operadores lineales acotados $L:H\to H$, equipado con la norma usual $\|\cdot\|_{\mathcal{L}}$.

Sea $T:D(T)\subset H\to H$ un operador lineal densamente definido y $(\lambda_n)$ una secuencia en $\rho(T)$ (el conjunto del resolvente de $T$).

Supongamos que existe $\lambda\in\rho(T)$ tal que $\lambda_n\to \lambda$.

¿Qué se puede concluir acerca de la secuencia $(S_n)$ de operadores lineales acotados definida por $$S_n=(\lambda_nI-T)^{-1}?$$

¿Es posible demostrar que $\|S_n-(\lambda I-T)^{-1}\|_{\mathcal{L}}\to 0$?
¿Es posible demostrar que $\|S_nx-(\lambda I-T)^{-1}x\|_H\to 0$ para todo $x\in H$?

Gracias.

Answer 1

Esta secuencia converge en la norma del operador (de hecho, $\lambda \mapsto (T-\lambda I)^{-1}$ es analítica! Ver este enlace para una prueba corta). Note que la convergencia del operador implica la convergencia fuerte, así que solo tenemos que probar tu primera afirmación.

La prueba utiliza la siempre útil identidad resolvente: $$ (A-\lambda I)^{-1} - (A-\mu I)^{-1} = (\lambda-\mu)(A-\lambda I)^{-1}(A-\mu I)^{-1} $$ Ver esta página para más detalles así como la otra identidad resolvente.

Ahora, podemos empezar a probar. $(T-\lambda_n I)^{-1} \to (T-\lambda I)^{-1}$. Empieza por notar que reemplazando $T$ con $T-\lambda I$, podemos asumir sin pérdida de generalidad que $\lambda = 0$. Recuerda que $\|AB\|\leq \|A\|\,\|B\|$ para cualquier operador $A$ y $B$. Por la identidad resolvente de arriba, $$ \|S_n - (T)^{-1}\| = |\lambda_n|\,\|S_n(T)^{-1}\|\leq |\lambda_n|\, \|S_n\|\,\|T^{-1}\| $$

Así que es suficiente probar que $\|S_n\|$ está acotado. $$ \|S_n\| = \|T^{-1}T(T-\lambda_n I)^{-1}\| \leq \|T^{-1}\|\,\|(I-\lambda_nT)^{-1}\| $$

Ahora llegamos al truco principal. Cuando $\lambda_n$ es suficientemente pequeño, $\|\lambda_nT\| <1/2$ así que $$ (I-\lambda_nT)^{-1} = \sum_{i=0}^\infty (\lambda_nT)^i $$ análogamente a la serie geométrica de 1 dimensión. Así, usando que $\|AB\| \leq \|A\|\|B\|$,

$$ \|(I-\lambda_nT)^{-1}\| \leq \sum_{i=0}^\infty \|(\lambda_nT)^i\| \leq \sum_{i=1}^\infty (1/2)^n = 1 $$ Ahora podemos concluir con $\|S_n\| \leq \|T^{-1}\|$ para $n$ suficientemente grande.