Yo no voy a estar en desacuerdo con Lubos, porque su respuesta es que la mayoría correcta, pero las cantidades en la ruta integral puede también ser interpretada como operadores en el espacio de Hilbert de los estados, si te gusta. Son clásicas las cantidades en cada individuo de la trayectoria de la ruta integral (para bosonic campos), sino que se conviertan en operadores después de integrar, cuando están sentados en el interior del signo integral.
El espacio de estado de un camino integral es definida por superposiciones en las condiciones de frontera. Si usted multiplica por algunos de inserción de Un(x,t) en la integral, que son la mezcla de las superposiciones cuando la integral de éxitos que tiempo al multiplicar por una cantidad diferente en cada ruta. La mezcla es un operador lineal sobre las condiciones de frontera, y es exactamente el operador lineal a(x,t) en la imagen de Heisenberg de la mecánica cuántica.
Para fermionic campos, siempre son "operadores" en cierto sentido, porque siempre son anticommuting. Pero su anticommutation relación es independiente de la dinámica en la ruta integral de expansión, y se reduce a la clásica Grassman variables. Multiplicando por la Grassman campo dentro de la ruta integral tiene el mismo efecto en Grassman coherente de los estados como de la correspondiente Heisenberg imagen operador.
Para dar un ejemplo, considere el operador X(t). Este es un operador de la mecánica cuántica, y obedece a la canónica de conmutación relación:
$$[X(t),P(t)] = i$$
Dentro de la ruta integral, X(t) es sólo un número en cada trayectoria, y P(t) es también un (divergente) número en el Lagrangiano de la ruta integral. Un estado cuántico $\psi(x)$ al momento t_0 es descrito por la superposición sobre estados iniciales
$$\psi(z,t) = \int dy \psi(y) \int_{x(t_0)=y}^{x(t)=z} e^{i\int_{t_0}^t {1\over 2} \dot{x}^2 - V(x)} Dx$$
Multiplicando por X(t_0) tiene el efecto de la reordenación de la condición inicial en función de onda
$$\int dy X(y)\psi(y) \int_{x(t_0)=y} r^{i\int_{t_0}^t {1\over 2} \dot{x}^2 - V(x) } Dx$$
Y esto es exactamente lo mismo que multiplicar por el operador X. Para recuperar la conmutación relación, aviso que
$$X(t)V(t)$$
es ambiguo, porque depende del orden en el tiempo que utiliza para resolver el producto:
$$X(t)V(t+\epsilon) = \hat{V}(t)\hat{X}(t)$$
donde el lado derecho es el producto del operador como de elementos de la matriz, y esto se justifica porque se multiplican las condiciones iniciales X(t) en primer lugar, luego que multiplicarlas por P(t),
$$X(t)V(t-\epsilon) = \hat{X}(t) \hat{V}(t)$$
Una vez más, el lado derecho es un producto del operador, y el lado izquierdo son los elementos de la matriz de este producto. La diferencia entre los dos es distinto de cero, porque los caminos no son diferenciables, $\Delta X^2$ es proporcional a $\epsilon$, no $\Delta X$. Así que:
$$ X(t+\epsilon)V(t) - X(t)V(t) = {(X(t+\epsilon) - X(t))^2\over \epsilon} = i $$
Donde el "yo" es un 1 en el espacio Euclidiano, la velocidad es un avance (Ito) de diferencia, y así es siempre un poco más adelante en el tiempo, y la última igualdad es un débil igualdad, válido sólo en el sentido de que la media durante un pequeño intervalo de los lados izquierdo y derecho son iguales (o igual en el sentido de las distribuciones), y es válido sólo en el límite de aproximación a tiempo real desde Euclidiana tiempo, por lo que la oscilatorio de las integrales son controlados.
La falta de la diferenciabilidad es el mismo como en procesos estocásticos derivados de movimiento Browniano, el cuadrado de la desviación es proporcional a $\epsilon$, no como para funciones diferenciables, donde la desviación de la misma es proporcional a $\epsilon$.
Esta manera de ver las cosas, donde las cantidades dentro de la ruta integral son los operadores, fue utilizado por Schwinger, y le gustaba porque la incorporación de fermiones de forma natural. Hoy en día utilizamos Grassman integrales para el mismo propósito. La no-conmutatividad de los productos es siempre allí, sin embargo, debe tomarse en cuenta.
