Encuentra la suma a n términos de la serie $\frac{1}{1.2.3}+\frac{3}{2.3.4}+\frac{5}{3.4.5}+\frac{7}{4.5.6}+\cdots$ ..

Question

Pregunta :

Encuentra la suma a n términos de la serie $\frac{1}{1.2.3}+\frac{3}{2.3.4}+\frac{5}{3.4.5}+\frac{7}{4.5.6}+\cdots$

Lo que he hecho :

El enésimo término del numerador y del denominador es $2r-1$ y $r(r+1)(r+2)$ respectivamente.

Por lo tanto, el enésimo término de la serie dada es :

$\frac{2r-1}{r(r+1)(r+2)} =\frac{A}{r}+\frac{B}{r+1}+\frac{C}{r+2}$ .....(1)

Utilizando la fracción parcial :

y resolviendo para A,B y C obtenemos A = 1/2, B = -1, C =1/2

Poniendo los valores de A,B y C en (1) obtenemos :

$\frac{1}{2r}-\frac{1}{r+1}+\frac{1}{2(r+2)}$

Pero al poner $r =1,2,3, \cdots$ No estoy recibiendo la respuesta. Por favor, guíenme cómo resolver este problema. Gracias.

Answer 1

El $r$ El término es

$$\frac12 \left (\frac1{r}-\frac1{r+1} \right )-\frac12 \left (\frac1{r+1}-\frac1{r+2} \right )$$

por lo que la suma telescópica. El resultado es

$$\sum_{r=1}^n \frac{2 r-1}{r (r+1) (r+2)} = \frac12\left (1-\frac1{2} \right )-\frac12 \left (\frac1{n+1}-\frac1{n+2} \right ) = \frac14 - \frac1{2 (n+1) (n+2)}$$

Answer 2

SUGERENCIA:

Si el $r$ El término $$T_r=\frac1{2r}-\frac1{r+1}+\frac1{2(r+2)}$$

$$2T_r=\frac1r-\frac2{r+1}+\frac1{(r+2)}=\left(\underbrace{\frac1r-\frac1{r+1}}\right)-\left(\underbrace{\frac1{r+1}-\frac1{r+2}}\right)$$

Reconocer los dos Serie telescópica

Answer 3

Puedes conseguir que el resultado salga si juegas con los índices de la serie infinita y expandes un par de términos. $$\sum_{r=1}^\infty\frac{2r-1}{r(r+1)(r+2)} = \sum_{r=1}^\infty\frac{1}{2r}-\frac{1}{r+1}+\frac{1}{2(r+2)} \\ = \frac{1}{2}\sum_{r=1}^\infty \frac{1}{r}-\sum_{r=1}^\infty\frac{1}{r+1}+\frac{1}{2}\sum_{r=1}^\infty\frac{1}{(r+2)} \\ = \frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{2}+\sum_{r=3}^\infty \frac{1}{r}\right)-\left(\frac{1}{2}+\sum_{r=3}^\infty\frac{1}{r}\right)+\frac{1}{2}\sum_{r=3}^\infty\frac{1}{r} \\ = \frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{2}\right)-\frac{1}{2}+\sum_{r=3}^\infty \frac{1}{r}\left(\frac{1}{2}-1+\frac{1}{2} \right)$$ La respuesta debería estar clara desde aquí.