Límites en $\sum {n ((\alpha n))}$ donde $((x))$ es la función diente de sierra

Question

Deje que el diente de sierra de la función $((x)) = x-\lfloor x \rfloor - 1/2$ si x no es un entero, 0 si no lo es.

Para una arbitrario, irracional $\alpha$ hay buena límites para $\sum_{i=0}^n i((i \alpha))$?

El experimento parece indicar algo de la forma $O(n^{1+\epsilon})$, y que sería genial, pero nada mejor que $O(n^2)$ sería agradable. Explícitamente computable constantes dependiendo $\alpha$ sería genial también.

Answer 1

Aquí es cómo obtener el $o(N^2)$ unido. Si $\alpha$ es irracional entonces por Weyl del obligado (como el anterior cartel comentó) tenemos $\sum_{n \leq N} ((n\cdot\alpha)) = o(N)$. Ahora tenga en cuenta que que $$\sum_{i \leq N} i\cdot ((i\cdot\alpha)) = N\sum_{n \leq N} ((n\cdot\alpha)) - \int_{1}^{N} \sum_{n \leq t} ((n \cdot \alpha)) \text{d}t$$ Para irracional $\alpha$ por Weyl dependiente de ambos términos se $o(N^2)$. Sin duda se puede mejorar en el$o(N^2)$, pero si quieres una muy buena mejora que usted puede necesitar saber más acerca de $\alpha$.

Answer 2

Para $\alpha$ irracional, la secuencia de $i\alpha$ se distribuye uniformemente en el modulo 1. Un teorema de Weyl dice que si $u_n$ es distribuido uniformemente en $[0,1)$ $f$ es Riemann-integrable, a continuación,$\lim_{N\to\infty}(1/N)\sum_1^Nf(u_n)=\int_0^1f(x)dx$. Hay una versión cuantitativa de este teorema que dice que la diferencia entre la suma y la integral es delimitada por la discrepancia de la secuencia de los tiempos de la variación de la función. La discrepancia de la secuencia de $i\alpha$ (modulo 1) es bien conocida. Tal vez esto le da un enfoque.

Una referencia es Kuipers y Niederreiter, la Distribución Uniforme de las Secuencias.

Answer 3

Aquí es un enfoque que se puede dar algunos de los mejores estimaciones de los valores particulares de $\alpha$:

$$\sum_{i= 1}^N i((i\alpha)) = \sum_{i=1}^N \sum_{j=i}^N ((j \alpha)) = \sum_{i=1}^N \sum_{k=0}^{N-i}((N\alpha -k\alpha))$$.

Por lo tanto, si se puede estimar

$$\sup_{\substack{x\in (0,1) \\\ M \le N}} \bigg|\sum_{k=0}^{M} ((x-k\alpha))\bigg|,$$

a continuación, puede crudamente multiplicar por $N$ para obtener una estimación de $|\sum i((i\alpha))|$.

Específicamente, mi conjetura es que para cuadrática irrationals $\alpha$, hay un límite superior para

$$\bigg|\sum_{k=0}^M ((x-k\alpha))\bigg|$$

que es $O (\log M)$, lo que le daría un salto de $O(N \log N)$, y, más generalmente, que hay un límite en términos de los coeficientes de la simple continuación de la fracción de $\alpha$, por lo que si esos son acotados, entonces usted todavía consigue $O(N \log N)$.

Para el valor particular $\phi = (\sqrt5 + 1)/2$, $\sum_{i=0}^{M} ((i \phi))$ ha logarítmica de crecimiento $c + (5\sqrt5 - 11)/4 \log_\phi M$ (alcanzado en los índices en las secuencias A064831 (+) y A059840 (-)), lo que sugiere que el $\sup \sum_{i=0}^M ((x-i\phi))$ también ha logarítmica de crecimiento, lo cual daría un $N \log N$ unido para la suma.

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En la dirección opuesta, para todos los $\alpha \not\in \frac 12\mathbb Z$, $$\limsup \bigg(\log_N \bigg|\sum_{i=0}^N i((i\alpha))\bigg|\bigg) \ge 1$$ since there are terms proportional to $$N.

La suma puede ser mayor que $N^{2-\epsilon}$ infinitamente a menudo por la elección de $\alpha$, de modo que es muy bien aproximada por una infinidad de números racionales. Al $\alpha$ es muy aproximó por $p/q$, $N$ un pequeño múltiples de $q$ (donde el "pequeño" es relativo a cómo de bien $p/q$ aproxima $\alpha$), acerca de la $1/q$ de los términos puede ser movido más allá de los números enteros con una pequeña perturbación de $\alpha$$\alpha'$, lo que provoca un salto de unos $N^2/q$ en la suma. Así que, o bien la suma de $\alpha$ o $\alpha'$ es grande. Podemos elegir una secuencia $p_n/q_n$ que converge a un $\alpha$, lo que produce grandes cantidades infinitamente a menudo, así que para estos $\alpha,$ $$\limsup \bigg(\log_N \bigg|\sum_{i=0}^N i((i\alpha))\bigg|\bigg) = 2$$.