¿Por qué necesitamos $2^\text{nd}$ cuantificación de la ecuación de Dirac

Question

Como matemático, la lectura de la ecuación de Dirac en Internet me deja con una gran confusión al respecto. Así que permítanme comenzar con su definición:

La ecuación de Dirac viene dada por, $$ i \hbar \gamma^\mu \partial_\mu \psi = m c\cdot \psi $$ donde las matrices de Dirac $\gamma^\mu$ se definen por $\gamma^\mu\gamma^\nu + \gamma^\nu\gamma^\mu = \eta^{\mu\nu}$ y donde $\psi$ es una "solución".

El primer trato de confusión ya comienza con el $\psi$ 's. Parece que la gente los ve libremente como funciones valoradas por espinores o como "campos de operadores".

Pero si lo entiendo bien, verlos como operadores, no forma parte de la imagen original, sino que se añadió más tarde como el llamado segunda cuantificación . ¿Verdad?

Ahora mi pregunta es la siguiente: ¿Por qué necesitamos esta segunda cuantización de la ecuación de Dirac? ¿Qué experimentos no pueden ser descritos por la ecuación de Dirac original? ¿Quizás haya una lista en alguna parte o algo así?

Answer 1

La ecuación original de Dirac no tiene en cuenta el principio de exclusión de Pauli ( https://en.wikipedia.org/wiki/Pauli_exclusion_principle ), la segunda cuantificación sí.

Answer 2

Cuando cuantificamos el campo electromagnético, la aproximación canónica consiste en expresar el campo como un conjunto de osciladores cuánticos en términos de los campos clásicos E y B . Esto nos da una imagen del campo electromagnético como una función de onda en la base de los estados Fock que describe los números de ocupación de los fotones en los diferentes modos disponibles en el campo.

La segunda cuantización aplicada a otras ecuaciones como la de Klein-Gordon o la del campo de Dirac consiste básicamente en tratar estos campos en el mismo plano que el campo electromagnético. Esto significa que tratamos la ecuación de Dirac pura técnicamente como un campo electrónico clásico, donde escribimos el campo como un conjunto de osciladores cuánticos en cada modo del campo.

A diferencia del caso del campo electromagnético o de los campos K-G, la 2ª cuantización del campo de Dirac debe hacerse con álgebra de anticomutadores, para preservar las propiedades de antisimetría del principio de exclusión de Pauli.