¿Por qué necesitamos $2^\text{nd}$ cuantificación de la ecuación de Dirac

Question

Como matemático, la lectura de la ecuación de Dirac en Internet me deja con una gran confusión al respecto. Así que permítanme comenzar con su definición:

La ecuación de Dirac viene dada por, $$ i \hbar \gamma^\mu \partial_\mu \psi = m c\cdot \psi $$ donde las matrices de Dirac $\gamma^\mu$ se definen por $\gamma^\mu\gamma^\nu + \gamma^\nu\gamma^\mu = \eta^{\mu\nu}$ y donde $\psi$ es una "solución".

El primer trato de confusión ya comienza con el $\psi$ 's. Parece que la gente los ve libremente como funciones valoradas por espinores o como "campos de operadores".

Pero si lo entiendo bien, verlos como operadores, no forma parte de la imagen original, sino que se añadió más tarde como el llamado segunda cuantificación . ¿Verdad?

Ahora mi pregunta es la siguiente: ¿Por qué necesitamos esta segunda cuantización de la ecuación de Dirac? ¿Qué experimentos no pueden ser descritos por la ecuación de Dirac original? ¿Quizás haya una lista en alguna parte o algo así?

Answer 1

Las soluciones de la ecuación de Dirac se interpretaron originalmente como funciones de onda o estados multidimensionales. Cada componente es similar a la vieja mecánica cuántica no relativista. Esta teoría no operativa se denomina a veces teoría mecánica cuántica relativista de espinores.

Sí, la segunda cuantización es un método que, al fin y al cabo, requiere que las soluciones se interpreten como operadores y no como estados. Esto se debe a que imponemos relaciones de conmutación particulares entre los operadores de las soluciones, que simplemente se conmutarían si fueran estados/funciones de onda. Esta nueva teoría se denomina QFT (para partículas de espín medio).

Una de las desventajas de la teoría del no-operador es que algunos estados han energía negativa. Aparentemente eso es malo. La teoría QFT valorada por operadores, por otro lado, tiene todas las energías positivas.

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Fuente: Si no te importa pagar los libros de texto, este es uno particularmente fácil de estudiar.

Answer 2

Según tengo entendido, la ecuación de Dirac original sólo puede describir el estado de un solo fermión relativista, mientras que la versión cuantificada en segundo lugar puede utilizarse para definir estados de varios fermiones. Véase, por ejemplo, la sección 4 del artículo en el siguiente enlace:

http://www.cond-mat.de/events/correl13/manuscripts/koch.pdf

Dicho esto, cuando los físicos de partículas hablan de la segunda cuantización, suelen referirse a la cuantización de un campo clásico. En la electrodinámica clásica, el campo electromagnético determina las fuerzas ejercidas sobre una partícula cargada, como un electrón. En la mecánica cuántica ordinaria, el electrón está cuantizado -se describe mediante un estado o función de onda- mientras que el campo electromagnético no lo está -sigue siendo una función ordinaria del espacio y el tiempo-. En este contexto, la segunda cuantización implica promover el campo electromagnético a un operador. Para ello, hay que incorporar también la relatividad especial a la teoría. Para más detalles, véase el libro de Peskin y Schroeder sobre la teoría cuántica de campos.

Answer 3

La ecuación de Dirac es una ecuación de onda relativista de un $1/2$ giro. Sorprendentemente, esta ecuación nos da una norma definida positiva $\psi^\dagger\psi$ cuando $\psi$ es un bi-espinor: $$ \psi = (\psi_+,\, \psi_-)^T $$

El $\psi_\pm$ es un $\pm$ espinor.

Sabemos que (Relatividad Especial)+(Mecánica Cuántica) , hace que la densidad de partículas y el número total de partículas sean incompatibles. Si estamos sondeando una longitud cercana a la longitud Compton del electrón, somos sensibles a este efecto. $$[N,\,\int_{L^3\sim\lambda_c^3}\rho(x)dx]\neq0$$$$ \lambda_c=\lquierda(\frac{\hbar}{mc}\i}derecha) $$ In the case of electrons, the first thing that we feel is the creation and annihilation of positrons-electrons pairs that give us corrections of $ \Delta E\sim \alpha^4mc^2 $. After this, more deep in compton length, precisely $ L\sim\lambda_c^3$, el campo electromagnético hace su manifestación cuántica así como las interacciones de los pares positrones-electrones a través del campo electromagnético. En el átomo de hidrógeno, este es el Turno del cordero y la corrección del relación giromagnética respectivamente. Correcciones en la energía $\Delta E\sim \alpha^5 mc^2$ . $$ \alpha =\frac{1}{mc^2}\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\frac{e^{2}}{\left(\frac{\hbar}{mc}\right)}=\left(\frac{1}{137}\right) $$

La ecuación de Dirac sólo puede sondear $L\sim\alpha^2\lambda_c$ , dando correcciones $\Delta E\sim\alpha^4mc^2$ . Después de eso, la ecuación falla. En realidad, la ecuación de Dirac funciona en términos de dos espinores que no pueden dividirse en presencia de un potencial de cuatro vectores $A_\mu$ . En el caso libre, podemos dividir por una exacta Transformación de Foldy Wouthuysen . En presencia del potencial, esta transformación sólo puede hacerse de forma aproximada, pero sólo es interesante hasta $L\sim\alpha^3\lambda_c$ cuando la ecuación de Dirac empieza a ser errónea. Esta transformación nos ayuda a encontrar dos ecuaciones, cada una para cada espinor, tomando el promedio sobre la producción de pares (promedio en $L\sim\alpha^3\lambda_c$ ). En el caso del átomo de hidrógeno, sólo una ecuación tiene estados ligados. Esta ecuación describe el electrón físico (dos cargas positivas, el protón y el positrón no forman estado ligado).

La ecuación de Dirac describe la incompatibilidad del número y la densidad de las partículas, pero toma el campo EM como clásico, y descuida las interacciones de los pares electrones-positrones. Sólo la interferencia del positrón/electrón se contabiliza como efecto relativista cuántico. Obsérvese que lo que realmente es positivo definido es $\psi^\dagger\psi=\psi_+^\dagger\psi_++\psi_-^\dagger\psi_-=\psi_{electron}^\dagger\psi_{electron}-\psi_{positron}^\dagger\psi_{positron}$

La resolución exacta de la ecuación de Dirac es sencilla para un potencial central. En términos de QFT - la forma correcta de hacer mecánica cuántica relativista - la solución de la ecuación de Dirac nos da una buena base de operadores de creación y aniquilación: creación y aniquilación de estados propios de la ecuación de Dirac. El Cálculos QED se puede tomar en términos de perturbaciones en el número de bucles en esta base.

Answer 4

Cuando estaba en el último año de la escuela de posgrado, allá por 1963, tomé un curso semestral sobre teoría cuántica de campos, operadores de creación y aniquilación en abundancia, y muchos teoremas. Estaba tan desconcertado como tú, el libro era Bogoliubov y nos habíamos convertido en expertos en la manipulación de los operadores de creación y aniquilación. Luego asistí a un CERN escuela de verano y la conferencia de M.Veltman nos hizo ver por qué andábamos con operadores de creación y aniquilación.

"Interacciones débiles de partículas no extrañas" resolvió el enigma. Se trataba de calculando secciones transversales. Hurra, había física en la locura :).

Así que esta pequeña historia mía es para ilustrar que, para calcular las secciones transversales antes de la llegada de los diagramas de Feynman y la correspondiente segunda cuantización, establecer las integrales para calcular las secciones transversales y compararlas con el experimento era un proceso largo. (En un taller, mucho más tarde, en 1980, escuché del propio Feynman cómo su uso de los diagramas de Feynman le permitió reducir el tiempo de los cálculos que asombraban a sus colegas, durante el proyecto Manhattan).

La física de partículas trata de secciones transversales, todos los modelos teóricos exitosos deben terminar en números que den secciones transversales y tiempos de vida, de eso trata la física de partículas.

¿Por qué necesitamos esta segunda cuantización de la ecuación de Dirac?

La segunda cuantificación + los diagramas de Feynman simplificaron la vida.

¿Qué experimentos no pueden ser descritos por la ecuación original de Dirac?

Las soluciones de la ecuación de Dirac, las funciones de onda, se utilizan como base para escribir y calcular las integrales prescritas por los diagramas de Feynman. La segunda cuantización es un metanivel que simplifica los cálculos, en mi opinión experimentalista.

Answer 5

He aquí mi pequeña interpretación de por qué el campo de Dirac debería estar "cuantificado" (es decir, ser un operador en lugar de una función de onda ordinaria), sin toda la charla sobre el principio de Pauli, los operadores de aniquilación/creación y todas las demás cosas raras de la QFT. Para mí, es suficiente con entender por qué $\Psi$ abajo (no $\psi$ ) no es una amplitud de probabilidad.

En una configuración relativista, todas las partículas y campos fundamentales de la naturaleza deberían ser representaciones irreducibles de la Grupo de Lorentz . Así que podríamos tener escalar , vector , tensor y también espinor campos.

Dado que cualquier campo debe propagarse en el espacio vacío sin violar la causalidad, el campo debe obedecer una ecuación diferencial ondulatoria (ecuación de Klein-Gordon si el campo tiene inercia ; $m \ne 0$ ). En el caso del campo electromagnético $F^{ab}$ (o el campo vectorial $A^a$ ) propagándose en el espacio vacío, obedece a las ecuaciones de Maxwell, que incluye la ecuación de onda (con $m = 0$ ) : $$\tag{1} \partial_a \, F^{ab} = 0, \qquad \Rightarrow \qquad \square \, A^a = 0. $$ En el caso de un campo espinor $\Psi$ debería ser la ecuación de primer orden de Dirac, que también incluye la ecuación de onda (con un término de masa):

$$\tag{2} \gamma^a \, \partial_a \, \Psi + i \, m \, \Psi = 0, \qquad \Rightarrow \qquad \square \, \Psi + m^2 \, \Psi = 0.$$

Ahora bien, todos los campos son en principio cantidades obervables, o podrían tener efectos observables (si no, no es física !). El campo electromagnético no es directamente obervable como tal, pero podría tener efectos sobre las cargas eléctricas (que podrían revelar la presencia del campo electromagnético). En principio, el tensor energía-momento $T^{ab}$ del campo EM también es obervable/medible (ya que se trata de energía , impulso , momento angular etc.). Por lo tanto, el $A^a$ debe ser tratado como un observable en la mecánica cuántica, que impone que todos los observables sean representados por operadores hermitianos.

Lo mismo ocurre con el campo espinor $\Psi$ . No es directamente obervable como tal, pero podría reaccionar a un campo electromagnético, y también podría generar algún campo EM (si $\Psi$ tiene una carga). Su momento energético $T^{ab}$ también es observable, en principio (energía, momento, momento angular, etc.). Por tanto, en la mecánica cuántica, debería representarse mediante un operador.

En un caso general, se tiene un campo físico $\Phi$ (índices suprimidos) propagándose en el espaciotiempo como una representación irreducible del grupo de Lorentz, obedeciendo así alguna ecuación diferencial parcial de la forma general $$\tag{3} \mathcal{E}(\Phi, \; \partial_a \, \Phi, \; \partial_a \, \partial_b \, \Phi) = 0. $$ Si tiene un tensor de momento de energía $T^{ab}$ (normalmente en función de las plazas $\Phi^2$ y $(\partial_a \Phi)(\partial_b \, \Phi)$ ), entonces debe considerarse como un observable en QM. Esto implica que debe definirse como un objeto operador. No una amplitud de probabilidad. Esta es una consecuencia muy general de QM estándar y no tiene nada que ver con la "segunda cuantificación".

La "segunda cuantificación" es realmente un error histórico, realizado en una época en la que había mucha confusión sobre los campos y las partículas de la Naturaleza. Sucedió que descubrimos el electrón primero como una partícula (es decir, interactuando con dispositivos de medición en el laboratorio como "partículas"), y "redescubrimos" un poco más tarde que en realidad era un campo más que se propagaba en el espaciotiempo. El electrón no es una partícula puntual. Si lo piensas un poco, las partículas puntuales fundamentales simplemente no tienen ningún sentido físico.

No hay partículas reales ahí fuera. Sólo campos matemáticos (es decir, representaciones del Grupo de Lorentz limitadas por el principio de causalidad) que se propagan como ondas y interactuando con otros campos como las partículas .