¿Cuántas soluciones $x^2 \equiv {-1} \pmod {365}$ ¿Tener?

Question

¿Cuántas soluciones $x^2 \equiv {-1} \pmod {365}$ ¿Tener?

Mi pensamiento:

$365 = 5 \times 73$ donde $5$ y $73$ son números primos.

Así podemos obtener $x^2 \equiv {-1} \pmod 5$ y $x^2 \equiv {-1} \pmod {73}$ .

Para $x^2 \equiv {-1} \pmod 5$ ,

comprobamos $5 \equiv 1 \pmod 4$ por lo tanto es resoluble.

Utilizando el criterio de Euler, $(-1)^{\frac{5-1}{2}} \equiv 1 \pmod 5$ .

Por tanto, tiene dos soluciones.

Para $x^2 \equiv {-1} \pmod {73}$ ,

comprobamos $73 \equiv 1 \pmod 4$ por lo tanto es resoluble.

Utilizando el criterio de Euler, $(-1)^{\frac{73-1}{2}} \equiv 1 \pmod{73}$ .

Por tanto, tiene dos soluciones.

Así pues, hay cuatro soluciones en total.

Answer 1

Porque $5$ y $73$ son relativamente primos, tenemos $x^2\equiv -1\pmod{5\cdot 73}$ sólo si $x^2\equiv -1\pmod{5}$ y $x^2\equiv -1\pmod{73}$ .

Porque $5$ es un primo de la forma $4k+1$ la congruencia $x^2\equiv -1 \pmod{5}$ tiene una solución y, por tanto, dos soluciones. Lo mismo ocurre con $x^2\equiv -1\pmod{73}$ .

Supongamos que $(a,b)$ es un par ordenado tal que $a^2\equiv -1\pmod{5}$ y $b^2\equiv -1\pmod{73}$ . Por el Teorema Chino del Resto, existe un único $c$ (modulo $5\cdot 73$ ) tal que $c\equiv a\pmod{5}$ y $c\equiv b\pmod{73}$ . Entonces $c^2\equiv -1\pmod{5\cdot 73}$ Así que $c$ es una solución de $x^2\equiv -1\pmod{365}$ . A la inversa, cualquier solución $x$ de $x^2\equiv -1\pmod{365}$ da lugar a un par ordenado de este tipo.

Existen $4$ tales pares ordenados, y por tanto $4$ soluciones de la congruencia modulo $365$ .

Observación: Las cuatro soluciones se presentan en dos $\pm$ pares, por lo que la tarea de encontrar es la mitad de desagradable de lo que parece. En realidad, con el Teorema Chino del Resto, una vez que has encontrado $A$ y $B$ tal que $73A\equiv 1 \pmod{5}$ y $5B\equiv 1\pmod{73}$ las cuatro soluciones se pueden escribir mecánicamente. Necesitamos saber que $\pm 2$ son las soluciones de $x^2\equiv -1\pmod{5}$ y $\pm 27$ son las soluciones de $x^2\equiv -1\pmod{73}$ .

La idea se generaliza: hay $8$ soluciones modulo $5^3\cdot 73\cdot 97^2$ .

Answer 2

Módulo de trabajo $\,73\,$ :

$$2^6=-9\implies 2^{12}=(-9)^2=8=2^3\implies 2^9=1$$

$$3^4=8=2^3\implies3^{12}=(2^3)^3=2^9=1$$

$$5^6=3\implies 5^{36}=3^6=8\cdot3^2=72=-1$$

Así, hemos encontrado una raíz primitiva módulo $\,73\,$ (a saber $\,5\,$ ), y a partir de aquí obtenemos dos soluciones para $\,x^2=-1\pmod{73}\,$ : $\;\;5^{18}=(5^6)^3=3^3=27\;,\;-27=46\;$ y las dos soluciones de $\,x^2=-1\pmod 5 \;$ son $\,\;2,3\;$

Entonces tenemos las soluciones modulo $\,365\,$ : $\;173\;,\;-173=192\;,\;338\ldots$ y creo que eso es todo, amigos: cuatro soluciones diferentes: $\;27,\; 46,\; 173,\; 339\pmod{365}$