Débil y Formulaciones de Lax Milgram:

Question

Tengo una pregunta acerca de cómo poner un PDE en forma débil, y lo que es más importante, cómo elegir correctamente el espacio de funciones de prueba. Sé que para una elíptica problema, queremos empezar con un problema como $Lu = f$, se multiplica por una suave función de la prueba de $v$, integrar por partes normalmente y se termina con una forma bilineal $a(u,v) = l(v)$ donde $a$ es coercitivo y delimitada y $l$ es un acotado funcional en algún espacio de Hilbert $H$. Entonces, la laxitud de Milgram nos dirá que existe una solución única a $u \in H$ del problema anterior para todos los $v \in H$. Mi pregunta es: ¿cómo elegir correctamente el espacio de Hilbert $H$?

Un ejemplo de un libro mío: si tenemos $-\Delta u = f$ $\Omega$ con la condición de que $u = 0$$\partial \Omega$, luego se multiplica por una función suave $v$, e integrar por partes para llegar a

$$\int_{\Omega} \nabla u \nabla v dx = \int_{\Omega} fv dx \text{ for all } v \in H^1_0(\Omega).$$ Ciertamente veo que la elección de $H^1_0(\Omega)$ suena razonable, ya que la condición se asegura de que $v$ satisface la condición de frontera y también que la forma bilineal $a(u,v)$ tiene sentido (es decir, la integral de $\nabla u \nabla v$ tiene sentido). Es esta la única posibilidad para un espacio de Hilbert podríamos elegir de las funciones de prueba? Lo que si sabemos de antemano que nuestra solución $u$ es extremadamente suave (vamos a decir nuestros datos $f$ $C^{\infty}$ por ejemplo). Sería admisible que, aunque la onu necesario elegir nuestra función de prueba de espacio para ser $H^2_0(\Omega)$? ¿Cuáles son los criterios para la elección de este espacio de funciones de prueba? Elegimos la función de prueba de espacio para Una: asegúrese de que la forma bilineal $a(u,v)$ tiene sentido (es decir, podemos distinguir las funciones de prueba suficiente de veces y que aún están en la $L^2$) y B: se satisfacen las condiciones de frontera?

Pido disculpas si esta pregunta no es clara, y gracias por la ayuda!

Answer 1

Estoy de acuerdo con motivaciones a y B se dio en el texto. Aún más decepcionante, yo diría que uno simplemente elige un espacio de Hilbert en lugar de otro, porque funciona. Así que uno elige la menos posible la regularidad y la forma más sencilla de codificar las condiciones de contorno.

En el caso de que el problema de Dirichlet, por ejemplo: $$\tag{(D)} \begin{cases} -\Delta u = f & \Omega \\ u= 0 & \partial \Omega\end{cases},$$ una solución de $u$, el que sea, debe ser algo que se da cuenta de $$b(u, v)=0,\quad \forall v \in \text{some test function space}, $$ donde $$b(u, v)=\int\left(-\Delta u - f\right)v\, dx, $$ siempre que esto tiene sentido. Resulta que, si requerimos $u, v\in H^1_0(\Omega)$, $b$ toma en un super-bonita forma, el Lax-Milgram del teorema de patadas en el, todo va sin problemas y nuestras vidas son hermosas. Lo que si hubiéramos tomado $H^2_0$ lugar? Bueno, en este caso habríamos tenido problemas porque, incluso en el caso más simple $f=0$, la forma cuadrática $$b(u,u)=\int \lvert \nabla u \rvert^2\, dx $$ es que no coercitivas, porque no puede controlar las segundas derivadas. Así que el de Lax-Milgram del teorema no se aplica y nuestras vidas son miserables.

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(Una última observación que, posiblemente, puede contradecir todo lo anterior. Hasta donde yo sé, no es un resumen de la teoría de operadores lineales y cuadráticas formas en espacios de Hilbert que, entre otras cosas, proclama que la $H^1_0$ es el "derecho" de dominio para la forma cuadrática $b(u,u)$ al $L$ es el Laplaciano. Si usted realmente está interesado en esto, usted puede buscar las palabras clave "forma de dominio de sí mismo-adjoint operadores" o "Friedrichs extensión". Estoy seguro de que esas cosas son tratados en Reed & Simon Métodos de la Moderna Física Matemática y en Zeidler de Aplicar el Análisis Funcional.)