Voy a añadir un pequeño descargo de responsabilidad así, yo soy un mathy con poca o ninguna formación en la física, así que si alguna de las siguientes necesidades de expansión, no dude en preguntar! (Aunque también puedo mencionar que me sentí mucho más cómodo con esta materia cuando por primera vez calculada la inducida por las acciones que voy a mencionar a continuación y realmente llegó a mis manos sucias de verificar todo.)
A ver que no es sólo uno de los $(1,1)$-formulario proveniente de cada punto fijo en el primer ejemplo, usted necesita para obtener un poco en cómo la voladura en realidad añade nada a la cohomology. Para esto, hay dos pasos.
(1) ¿Qué es la explosión?
(2) ¿Cómo estamos agregando clases en cohomology?
Para (1) se nota que estamos tomando el cociente de $T^4$$\mathbb{Z}_2$, y el problema es que esto genera 16 singularidades. Usted puede, de hecho, la voladura de estas singularidades, pero no hay ninguna garantía de que esta realidad se resuelve ellos, así que después de una simple explosión puede que no tenga un buen objeto todavía (es decir, una resolución!) y usted puede necesitar para continuar volando a la realidad, resolver las singularidades. (Esta es la razón por la del ejemplo 2 tiene una más exóticos de la resolución.)
Para ver la resolución completa después de la primera explosión, se tiene que de alguna manera se nota la acción de la $\mathbb{Z}_2$, inducida en el $\mathbb{P}^1$s acostado encima de cada punto fijo es trivial (por lo que el blownup cociente es suave). Una manera sencilla para esto es tener en cuenta la involución actúa como $-1$ en los diferenciales, (la cotangente del espacio) por lo tanto actúa como $-1$ en el espacio de la tangente en cada punto singular, y el estallido reemplaza cada punto con el projectivization de la normal de paquete en ese punto, pero el projectivation de la acción por $-1$ es trivial y el $\mathbb{P}^1$s son de hecho fijado por la acción de la $\mathbb{Z}_2$.
Para el problema 2, estamos mirando en la misma situación, salvo que la acción no es $-1$, y no projectivize a algo trivial. Por lo tanto, después de la primera explosión, las $\mathbb{P}^1$s no son fijos y se necesitará la voladura de los puntos fijos (hay dos) en cada una de las $\mathbb{P}^1$ está por encima de un punto fijo. Si usted lleva la acción en el $\mathbb{P}^1$ y una vez más en la voladura de los puntos fijos en el $\mathbb{P}^1$ puede ver que la acción es trivial en la segunda explosión, por lo que tenemos 2 fijos $\mathbb{P}^1$s está por encima de los originales de punto fijo.
Ahora, la diversión viene en la parte (2). ¿Por qué esta añada $(1,1)$-formas y nada más? Para esto, tal vez, la fuente original es Grothendieck del SGA V, en el que (si no recuerdo mal) de la sección VII se dedicó en gran medida a probar el siguiente resultado (que he simplificado en gran medida para el caso con dimensiones ejemplos):
Deje $X$ ser una de dos dimensiones suave proyectiva irreductible variedad con $Y$ un conjunto finito de puntos en $X$. Deje $\widetilde{X}$ ser la voladura de $X$ a lo largo de $Y$. Entonces
$$ H^k\left(\widetilde{X}\right) \simeq H^{k-2}(Y) \oplus H^k(X). $$
Voy a estar presente la versión completa a continuación, pero es mucho más fácil para los dos pliegues, y sólo sigue a partir de topológico de la dualidad de Poincaré, por lo que permite terminar los ejemplos primero! Con la dualidad, sólo necesitamos trabajar
$$ H^0\left(\widetilde{X}\right) \simeq H^{-2}(Y) \oplus H^0(X), $$
$$ H^1\left(\widetilde{X}\right) \simeq H^{-1}(Y) \oplus H^1(X), $$
y
$$ H^2\left(\widetilde{X}\right) \simeq H^{0}(Y) \oplus H^2(X). $$
Ahora $H^{-2}(Y) = H^{-1}(Y) = 0$, por lo que el único cambio de la voladura tiene en cohomology es en $H^2$. (Como por tu pregunta, tenga en cuenta que$H^{2,2}\left(\widetilde{X}\right) \simeq H^{0,0}\left(\widetilde{X}\right)$, por lo que esto muestra que no hay $(2,2)$-clases procedentes de la explosión.)
Para $H^0(Y)$, ten en cuenta que cada punto tiene un $(0,0)$-clase, por lo que cada punto contribuye 1 clase en $H^{1,1}\left(\widetilde{X}\right)$ como se desee.
En el ejemplo dos, recordar que había dos puntos fijos para la voladura, que yace por debajo de la original, puntos fijos, por lo que hay un 18 $(0,0)$-clases en los números finales.
El pleno del SGA resultado es el siguiente:
Deje $X$ ser un suave proyectiva irreductible variedad de dimensión $n$, y deje $Y_1,\ldots,Y_r \subset X$ ser mutuamente disjuntas cerrado irreducible subvariedades de $X$ de codimension $d\geq 2$. Deje $Y$ ser la unión de la $Y_i$ y deje $\widetilde{X}\to X$ ser la voladura de $X$ a lo largo de $Y$.
Entonces
$$ H^k\left(\widetilde{X}\right) \simeq H^{k-2}(Y) \oplus \cdots \oplus H^{k-2(d-2)}(Y)\xi^{d-2} \oplus H^k(X), $$
donde $\xi$ representa la línea bundle $\mathcal{O}(1)$. (Esto es cómo usted puede definir las clases de Chern, utilizando el $\xi^i$ como base para la cohomology de la explosión - o de cualquier vector paquete en general - si usted ha visto antes.)
Por lo anterior, con el buen dos veces ejemplos, el $\xi$ términos no eran necesarios, ya que los exponentes no son lo suficientemente grandes.
Tenga en cuenta que como cualquier $n$veces producto de curvas elípticas (o curvas en general) sólo tiene puntos fijos en la singular, el locus, así que sólo te $(1,1)$-clases en la resolución. Usted tiene que mirar más exóticos de la construcción, como $E\times S/\mathbb{Z}_2$ donde $E$ es una curva elíptica e $S$ es una superficie, donde se fija locus en $S$ ahora pueden tener curvas, así que usted encontrará $(2,1)$-clases en la resolución, y más y más complicado fijo loci (puede) dar las clases superiores en la cohomology. (Porque de sus etiquetas, voy a hablar de la $E\times S$ de los casos es el clásico Borcea-Voisin construcción al $S$ es un 3d de la superficie y las involuciones no son simpléctica.)
Añadido: veamos el segundo estallido de forma explícita. Sabemos que la acción de la $\mathbb{Z}_3$ en los dos tori induce una acción en las respectivas $1$-formas de la multiplicación por $\omega$$\omega^{-1}$. Para encontrar cómo afecta esto a la explosión, necesitamos ver lo que la acción en el espacio de la tangente de un punto fijo. Nota: estos 1-formas nos dan una base para el espacio cotangente de cada toro, que es isomorfo al espacio de la tangente (que en general toma la transposición de la acción, pero en nuestro caso unidimensional que significa que es la misma acción) por lo que el $\mathbb{Z}_3$ acción induce la multiplicación por $\omega$ $\omega^{-1}$ sobre la respectiva tangente espacios.
Para hacer las cosas un poco más simple, permite dar a nuestros (complejo) dos veces un nombre, vamos
$$ X = T^2\times T^2/\mathbb{Z}_3. $$
Por lo tanto, la voladura de un afín gráfico de alrededor de un punto fijo (que podemos definir como el origen) puede ser escrita como
$$ \widetilde{X} = \left\{\Big((x,y),[u:v]\Big) \mid xu = vy\right\} \subset \mathbb{A}^2\times \mathbb{P}^1, $$
el $\mathbb{P}^1$ se lo hemos añadido en la explosión. Para corroborar esto es correcto, tenga en cuenta que cualquier punto de $(x,y)\neq (0,0)$ tiene un único par $[u:v]$ satisfacer la condición de $xu=vy$, mientras que el origen $(x,y)=(0,0)$ todo $\mathbb{P}^1$ satisfacción $xu=vy$, por lo que realmente tiene un colector que se corresponde uno a uno con $X$, lejos de la singularidad, y la $\mathbb{P}^1$ se encuentra por encima del punto fijo.
De lado: Esta $\mathbb{P}^1$ surge porque es el (projectivization de la normal de paquete del punto singular en $X$. En general, si la voladura de un $d$-dimensiones submanifold en un $n$-dimensiones del colector, usted obtener un $\mathbb{P}^{d-1}$ está por encima del locus que se sopla. (E. g., sobre una superficie, la voladura de una curva de da $\mathbb{P}^1$ acostado encima de cada punto de la curva, mientras que la voladura de un punto te da un $\mathbb{P}^2$ está por encima del punto). La idea de la voladura en general es (poco) que desea agregar toda la información `coliding' en la singularidad. Si usted nunca ha visto mucho acerca de la resolución de singularidades, recomiendo quitar importancia a la página de la Wiki , ya que da una buena descripción de la voladura proyectiva, espacio, espacio afín, complejos colectores, y (tal vez mejor ignorar) la pesada esquemas manera.
De vuelta al trabajo: Pero esto significa que sabemos de la acción en el $\mathbb{P}^1$ que se encuentra sobre el punto fijo, ya que sabemos que la acción de $\mathbb{Z}_3$ en el espacio de la tangente del punto fijo de arriba. Tenemos
$$ [u:v] \mapsto [\omega u:\omega^{-1}v]. $$
Esta acción no es trivial, por lo que el $\mathbb{P}^1$ no está fijado por la acción, por lo que simplemente hemos añadido un $\mathbb{P}^1$, pero no cambió el fijo locus en el punto, por lo que el cociente todavía tiene una singularidad aquí!
Las cosas se ponen peor, aunque, como esta $\mathbb{P}^1$ tiene en realidad dos puntos fijos! El origen $[0:v]$ y el punto en el infinito $[u:0]$. (Nuestro colector tiene 18 puntos fijos ahora, pero todos ellos están aislados puntos fijos, de manera que todos son el mismo tipo de singularidad como antes.)
Ahora debemos tratar de resolver tanto. Podemos tomar el gráfico de $v\neq 0$ y observe que podemos escribir
$$ \widetilde{X} = \left\{\left((x,\frac{xu}{v}),\left[\frac{u}{v}:1\right]\right) \right\}, $$
es decir, sólo hay dos grados de libertad. Esto significa que podemos escribir nuestra afín gráfico (todavía en un dos veces) en las coordenadas
$$ Y := \{(x,z)\} $$
donde $z = u/v$. Tenga en cuenta que la acción de $\mathbb{Z}_3$ $z$ es
$$ z = \frac{u}{v} \mapsto \frac{\omega u}{\omega^{-1} v} = \omega^{-1}\frac{u}{v} = \omega^{-1}z. $$
La voladura de esto tenemos la misma historia, como en el anterior, y
$$ \widetilde{Y} = \left\{\Big((x,z),[s:t]\Big) \mid xs = zt\right\}. $$
Esta vez no tenemos la acción en el espacio de la tangente sobre el punto fijo,$(0,0)$$\widetilde{X}$, pero en realidad podemos descifrar desde arriba. Sabemos que la acción en la $[u:v]$ en la primera explosión, por lo que la condición de $xu = vy$ nos dice
$$ xu \mapsto \omega xu $$
y
$$ vy \mapsto \omega^{-1}vy, $$
así que tenemos $(x,y)\mapsto (\omega^{-1}x,\omega y)$. Por lo tanto, nuestra acción en el $\mathbb{A}^2$ en el segundo estallido es $(x,z)\mapsto (\omega^{-1} x,\omega^{-1} z)$. Por lo tanto, la condición de $xs = ut$ en el segundo estallido significa la (proyectiva!) la acción de $\mathbb{Z}_3$ esto $\mathbb{P}^1$ es trivial, y fijo locus partir de ahora tiene un $\mathbb{P}^1$ en lugar de sólo un punto.
Por lo tanto, al menos en este punto, $\widetilde{Y}$ es suave. Un cálculo similar se muestra el $\mathbb{P}^1$ está por encima del punto en el infinito, por ejemplo, en el gráfico de $u\neq 0$, también es fijo. Esto significa que cada punto fijo en $X$ sólo se resuelve después de las dos imágenes ampliadas, donde de hecho, hemos resuelto 18 puntos fijos todo en todos.
