Es $\lim _{x\rightarrow 0}\frac {1} {x}=\infty$ derecho?

Question

Acabo de aprender un poco sobre el límite por mí mismo, y me pregunto el resultado de $\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {1} {x}$.

Con el fin de obtener la respuesta, le pregunté a uno de mis amigos, y él me dijo que es igual a $\infty$:

$$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {1} {x}=\infty$$

Pero yo todavía estaba perplejo.

En mi opinión, la variable $x$ puede acercarse a $0$ tanto desde la dirección positiva y negativa de la dirección. Así obtengo $\lim _{x\rightarrow 0^+}\dfrac {1} {x}=+\infty$$\lim _{x\rightarrow 0^-}\dfrac {1} {x}=-\infty$.

Me puedes decir tus ideas sobre el resultado de $\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {1} {x}$?

Muchas gracias!

Answer 1

Ciertamente, $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac1x=\infty$ dentro de la línea proyectiva $\mathbb R\cup\{\infty\}$. Pero cuando uno trabaja en un espacio convencional $\mathbb R\cup\{\pm\infty\}$, a continuación, uno de los límites laterales es $+\infty$ y la otra es $-\infty$.

Answer 2

Si los dos límites laterales de una función en un punto son diferentes, es decir, si

$$\lim_{x\to p^+} f(x) \ne \lim_{x\to p^-} f(x)$$

a continuación, el límite de la función $f$ no está definido en el punto $p$, precisamente porque puede tomar dos valores diferentes dependiendo de cómo uno va sobre ella.

Esto significa que, si bien es cierto que

$$\lim_{x\to 0^+} \frac{1}{x} = \infty, \quad \lim_{x\to 0^-} \frac{1}{x} = -\infty$$

El límite de $\frac{1}{x}$ $x = 0$ no existe.

Answer 3

$\lim_{x\to x_{0}}f\left(x\right)=\infty\Longleftrightarrow\lim_{x\to x_{0}}\left|f\left(x\right)\right|=+\infty $
Sin signo de infinito como infinita distancia de $0$ (o cualquier número real) - en ambas direcciones. Firmado infinito como infinita distancia en una dirección.

Wiki llama a esta alternativa de notación http://en.wikipedia.org/wiki/Limit_of_a_function#Alternative_notation

Me enteré por esa definición:

barrio de $U_\epsilon(\infty)$ es un conjunto de la forma ${x: |x|>\dfrac{1}{\epsilon}}$

Usando esta definición, $f(x)$ vuelve más y más cerca de $\infty$ (al $x\to 0$).
Y el límite de $\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {1} {x}=\infty$ se calcula correctamente.

Answer 4

La definición de los límites es generalmente de tal manera que un límite de sólo existe si es el mismo de todas las direcciones de aproximación a un punto. Por lo tanto, ya que obtener un límite diferentes de cada lado, el límite no existe. Este es, por supuesto, asumiendo que usted está buscando el límite sobre $\mathbb{R}$, como el límite a más de $\mathbb{R}^{+}$ o $\mathbb{R}^{-}$ puede ser definido como un solo lado del límite, y por lo tanto puede existir como te han dicho arriba, como $\infty$ o $-\infty$.

Answer 5

Si $x\rightarrow 0^-$, entonces el límite es de $-\infty$. Si $x\rightarrow 0^+$, entonces el límite es de $+\infty$. No es difícil mostrar esto a través de la definición de limith aunque.