$\mathsf{BRing}$ es algebraica, lo creas o no! Todo el trabajo duro para mostrar esto se hace de Jesse Elliott papel.
De hecho, $\mathsf{BRing}$ es reflexivo y coreflective en $\mathsf{Ring}$, según el papel (sección 7), y se deduce que es cerrado en $\mathsf{Ring}$ bajo los límites y colimits.
El documento también muestra que la obvia olvidadizo functor $\mathsf{BRing} \to \mathsf{Set}$ tiene un adjunto a la izquierda, el envío de un conjunto $X$ a el anillo de enteros con valores de polinomios con variables en $X$.
Así que podemos aplicar la monadicity teorema: el olvido functor $U: \mathsf{BRing} \to \mathsf{Set}$ tiene un adjunto a la izquierda y refleja isomorphisms, tan sólo tenemos que mostrar crea coequalizers de $U$-pares divididos. Esto es cierto porque la coequalizer de una $U$-split par existe en $\mathsf{Ring}$, e $\mathsf{BRing}$ es cerrado bajo coequalizers.
Esto está en marcado contraste a la torsión libre de abelian grupos, o de torsión libre de los anillos, ambos de los cuales no ser exacta debido a que no contiene el cociente $\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/n$. En realidad es muy notable el hecho de que $\mathsf{BRing}$ es cerrado bajo coequalizers en $\mathsf{Ring}$, y que ninguna de torsión puede ser creado de modding por una binomial-cerrado congruencia!
Para ser explícitos: una operación en esta teoría algebraica está dada por un valor entero polinomio. Generadores y relaciones para esto se puede encontrar en el papel. Es que no la teoría libremente generada por el anillo de operaciones y las operaciones de $\binom{-}{n}$ satisfacción $n!\binom{x}{n} = x(x-1)\cdots (x-n+1)$: hay relaciones más (no estoy seguro de si estas son sólo la "obvio", como el que se menciona en el punto 2 a continuación).
Para documentar mis respuestas incorrectas hasta el momento:
Yo intento darle un finito-producto - subproducto boceto para $\mathsf{BRing}$ mostrar que estaba multialgebraic y por lo tanto algebraicas, pero acabamos de bosquejar binomio anillos y inyectiva homomorphisms, una categoría diferente. Gracias a Zhen Lin para señalar esto!
He tratado de mostrar que la fuerza finitely presentable objetos de $\mathsf{BRing}$ eran los mismos que en el pleno supercategory $\operatorname{Mod}(\mathcal{BR})$ de los anillos equipados con operaciones unarias $\binom{-}{n}$$n!\binom{x}{n} = x(x-1)\cdots (x-n+1)$, lo que significaría $\mathsf{BRing}$ no fue la categoría de modelos de la única manera posible de Lawvere teoría, y por lo tanto no algebraicas. Resulta que esto es incorrecto porque los objetos libres de $\operatorname{Mod}(\mathcal{BR})$ ni siquiera se encuentran en $\mathsf{BRing}$ -- han de torsión! Por ejemplo, en $\operatorname{Mod}(\mathcal{BR})$, la ecuación de $2\binom{x}{2}(x-2) = 6 \binom{x}{3}$ tiene, sino $\binom{x}{2}(x-2) \neq 3\binom{x}{3}$ no, como se evidencia por $\mathbb{Z}/2$, donde el $\binom{-}{n}$ funciones puede ser arbitraria y es fácil de violar esta ecuación.
He tratado de mostrar que $\mathsf{BRing}$ no era exacta y por lo tanto no algebraicas, mediante la exhibición de una cierta congruencia con un cociente exacto en $\operatorname{Mod}(\mathcal{BR})$, pero no en $\mathsf{BRing}$. Esto estaba mal porque el cociente de la libre álgebra en $\operatorname{Mod}(\mathcal{BR})$ en dos generadores, que no se encuentran en $\mathsf{BRing}$. De hecho, ya que la exactitud es formulado exclusivamente en términos de límites y colimits, el hecho de que $\mathsf{BRing}$ es cerrado en $\mathsf{Ring}$ bajo los límites y colimits implica inmediatamente que $\mathsf{BRing}$ hereda exactitud de $\mathsf{Ring}$. Más acerca de esto en una pregunta que le hice sobre ella.
Actualización
Martin bastante sensatez pregunta por generadores y relaciones en los comentarios. Después de hacer esta pregunta (y Martin respuesta!), Yo creo que un conjunto completo de relaciones está dada por la (especial) $\lambda$-anillo de relaciones (con $\lambda^n(x) = \binom{x}{n}$), junto con la identidad de la muestra por Darij Grinberg (con un ligero error tipográfico; ver sus posteriores comentarios para un enlace a una prueba) $\binom{x}{a}\binom{x}{b} = \sum_{i=a}^{a+b} \binom{i}{a}\binom{a}{a+b-i}\binom{x}{i}$, y, por supuesto, la identidad de $n!\binom{x}{n} = x(x-1)\cdots (x-n+1)$. Uno puede comprobar, por ejemplo, de que la relación se $(x-n)\binom{x}{n} = (n+1)\binom{x}{n+1}$, como se mencionó en el punto (2) anterior, se desprende de estas relaciones.
Actualización De Nuevo
He aquí un argumento que no hay 2-torsión: si $2x=0$, $0=\binom{2x}{2}$ (de hecho, el binomio de la operación se aplica a cualquier entero debe producir el resultado típico, que se determina de forma inductiva mediante la adición de la regla para $\lambda$-rings (el Vandermonde de identidad)). Esto se puede ampliar usando la regla de la multiplicación como $4\binom{x}{2} + x$, y el primer término es 0, usando la regla de $2\binom{x}{2} = x(x-1)$. Con cerca de estudio de estas relaciones, me imagino que tal análisis podría extenderse a mostrar que no hay torsión.
