Gran Integral Triple

Question

¿Existe un método fácil para demostrar que

$$\int_1^2\int_1^2\int_1^2\arcsin\left(\frac{\sqrt{x^2-1}+\sqrt{y^2-1}+\sqrt{z^2-1}-\sqrt{x^2-1}\sqrt{y^2-1}\sqrt{z^2-1}}{xyz}\right)\,dx\,dy\,dz =3\log(2+\sqrt{3})-\pi.$$

¿Alguien puede darme un método fácil?

Answer 1

La raíz cuadrada $\sqrt{x^2-1}$ es uno de los catetos de un triángulo rectángulo cuyo otro cateto es $1$ y cuya hipotenusa es $x$. Por lo tanto

$$\sqrt{x^2-1}=\tan\alpha\text{ y }x=\sec\alpha$$

donde verás qué ángulo $\alpha$ es si dibujas la imagen. De manera similar $$\begin{align} \sqrt{y^2-1} = \tan\beta, & &y = \sec\beta, \\[6pt] \sqrt{z^2-1} = \tan\gamma, & &z = \sec\gamma. \end{align}$$ Ahora $$\tan(\alpha+\beta+\gamma)=\frac{\tan\alpha+\tan\beta+\tan\gamma-\tan\alpha\tan\beta\tan\gamma}{1-\tan\alpha\tan\beta-\tan\alpha\tan\gamma-\tan\beta\tan\gamma},$$ y $$\sec(\alpha+\beta+\gamma)=\frac{\sec\alpha\sec\beta\sec\gamma}{1-\tan\alpha\tan\beta-\tan\alpha\tan\gamma-\tan\beta\tan\gamma}.$$ Entonces la función en tu integral es $$\arcsin\left(\frac{\tan(\alpha+\beta+\gamma)}{\sec(\alpha+\beta+\gamma)}\right) = \arcsin(\sin(\alpha+\beta+\gamma))=\alpha+\beta+\gamma.$$ Entonces tienes $$dx = \sec\alpha\tan\alpha\,d\alpha$$ y similarmente para $dy$ y $dz$. Y $$\int_1^2 \cdots\cdots dx$$ se convierte en $$\int_0^{\pi/3} \cdots\cdots (\sec\alpha\tan\alpha\,d\alpha)$$ ya que $\sec0=1$ y $\sec\dfrac\pi3=2$.

Luego conviértelo en una suma de tres integrales, todas con el mismo valor numérico, una de ellas es $$\iiint \alpha \sec\alpha \tan\alpha \sec\beta \tan\beta \sec\gamma \tan\gamma \,d\alpha \,d\beta \,d\gamma$$ $$= \int_0^{\pi/3} \alpha \sec\alpha \tan\alpha\,d\alpha\cdot \int_0^{\pi/3} \sec\beta \tan\beta \,d\beta \cdot \int_0^{\pi/3} \sec\gamma\tan\gamma\,d\gamma.$$

Una de estas tres requerirá integración por partes. Las otras dos son rutinarias.

Postdata inspirada en los comentarios a continuación:

Claramente $$\int_0^{\pi/3} \sec\beta\tan\beta\,d\beta = \sec\frac\pi3-\sec0 = 2-1=1.$$ Entonces: $$\begin{align} & \phantom{{}=}\int_0^{\pi/3}\alpha\Big(\sec\alpha\tan\alpha\,d\alpha\Big) \\[10pt] & =\int\alpha\,d\delta=\alpha\delta-\int\delta\,d\alpha \\[10pt] & =\alpha\sec\alpha-\int\sec\alpha\,d\alpha \\[10pt] & =\left[\phantom{\int}\!\!\!\!\! \alpha\sec\alpha-\log \left| \sec\alpha + \tan\alpha \right| \, \right]_0^{\pi/3} \\[10pt] & =\frac{2\pi}{3}-\log(2+\sqrt{3}) \end{align}$$

Post-post-script inspirado en comentarios adicionales:

Recuerda que $\log(2+\sqrt{3})$ es lo mismo que $-\log(2-\sqrt{3})$.

. . . y otra adición inspirada en comentarios a continuación:

Bien, hemos reducido la integral mediante sustituciones trigonométricas a $$\iiint \arcsin(\sin(\alpha+\beta+\gamma)) (\sec\alpha\tan\alpha\,d\alpha) (\sec\beta\tan\beta\,d\beta) (\sec\gamma\tan\gamma\,d\gamma)$$ sobre el conjunto $(\alpha,\beta,\gamma)\in[0,\pi/3]^3$.

Si podemos cambiar $\arcsin(\sin(\bullet))$ por simplemente $\bullet$, entonces el resto de lo que aparece arriba resuelve el problema. Pero se objeta que dentro de $(\alpha,\beta,\gamma)\in[0,\pi/3]^3$ hay puntos donde $\alpha+\beta+\gamma>\pi/2$, y por lo tanto tendríamos $\arcsin(\sin(\alpha+\beta+\gamma))= \pi-(\alpha+\beta+\gamma)$.

Se puede mirar eso, pero antes de hacerlo, tengo que decir que sospecho que es bastante antinatural considerar tal cosa, así que me pregunto por qué se está haciendo.

Continuará . . .