¿Cuál es la fórmula para esta serie de $\pi$?

Question

Estas fracciones continuas para $\pi$ fueron dados aquí,

$$\pequeño \pi = \cfrac{4} {1+\cfrac{1^2} {2+\cfrac{3^2} {2+\cfrac{5^2} {2+\ddots}}}} = \sum_{n=0}^\infty \frac{4(-1)^n}{2n+1} = \frac{4}{1} - \frac{4}{3} + \frac{4}{5} - \frac{4}{7} + \cdots\tag1 $$

$$\pequeño \pi = 3 + \cfrac{1^2} {6+\cfrac{3^2} {6+\cfrac{5^2} {6+\ddots}}} = 3 - \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n} {n (n+1) (2n+1)} = 3 + \frac{1}{1\cdot 2\cdot 3} - \frac{1}{2\cdot 3\cdot 5} + \frac{1}{3\cdot 4\cdot 7} - \cdots\tag2 $$

$$\pequeño \pi = \cfrac{4} {1+\cfrac{1^2} {3+\cfrac{2^2} {5+\cfrac{3^2} {7+\ddots}}}} = 4 - 1 + \frac{1}{6} - \frac{1}{34} + \frac {16}{3145} - \frac{4}{4551} + \frac{1}{6601} - \frac{1}{38341} + \cdots\tag3$$

Por desgracia, el tercero no se incluyen de forma cerrada para la serie. (He probado el OEIS el uso de los denominadores, pero sin resultados.)

P. ¿Cuál es la fórmula serie de $(3)$?

Answer 1

El tercero debe ser obtenida a partir de a$4.1.40$ en a&S p.68 uso de $z:=ix$ (a partir de Euler creo no estoy seguro) :

$$-2\,i\,\log\frac{1+ix}{1-ix} = \cfrac{4x} {1+\cfrac{(1x)^2} {3+\cfrac{(2x)^2} {5+\cfrac{(3x)^2} {7+\ddots}}}} $$ Salvo que la expansión de la función en $x=1$ es simplemente su expansión por $(1)$.

Algunos prolijo variantes :

$$\varphi(x):=\int_0^{\infty}\frac{e^{-t}}{x+t}dt= \cfrac{1} {x+1-\cfrac{1^2} {x+3-\cfrac{2^2} {x+5-\cfrac{3^2} {x+7-\ddots}}}}$$ $$\text{the previous one was better for large $x$...}$$ $$\int_0^{\infty}e^{-t}\left(1+\frac tn\right)^n\,dt=1+ \cfrac{n} {1+\cfrac{1(n-1)} {3+\cfrac{2(n-2)} {5+\cfrac{3(n-3)} {7+\ddots}}}}$$

$$\sum_{k=0}^\infty\frac 2{(x+2k+1)^2}= \cfrac{1} {x+\cfrac{1^4} {3x+\cfrac{2^4} {5x+\cfrac{3^4} {7x+\ddots}}}}$$ $$\text{and thus $\dfrac{\zeta(2)}2$ for $x=1$ (Stieltjes)}$$

$$\text{The last one was obtained after division by $n$ at the limit $n=0$ :}$$ $$\begin{align} \int_0^1\frac{t^{x-n}-t^{x+n}}{1-t^2}dx&=\sum_{k=0}^\infty\frac 1{x-n+2k+1}-\frac 1{x+n+2k+1}\\ &=\cfrac{n} {x+\cfrac{1^2(1^2-n^2)} {3x+\cfrac{2^2(2^2-n^2)} {5x+\cfrac{3^2(3^2-n^2)} {7x+\ddots}}}}\\ \end{align}$$

Su continuación en la fracción aparece también en una clara y reciente libro de Borwein, van der Poorten, Shallit, Zudilin "Neverending Fracciones: Una Introducción a las Fracciones continuas" al final de las páginas de $167-169$ reproducidos para su comodidad, aquí (con la esperanza de que no hay ningún problema con eso...) :