¿Hay alguna (pares) de simple distribuciones que dan lugar a una ley de potencia de relación?

Question

Si recuerdo correctamente, para $X$, $Y$ normalmente distribuida, la relación de $X/Y$ es de Cauchy-distribuido. Esto es como una especie de ley de potencia, pero no es bastante. Así:

¿Hay alguna simple distribuciones para dos vehículos recreativos $X$, $Y$ s.t la relación de es realmente de ley de potencia distribuida (al menos en algunos de régimen)?

Answer 1

De acuerdo a Wikipedia, si $X\sim\mathrm{Exponential}(\lambda)$$Y\sim\Gamma (n, \frac{1}{\lambda})$, $\frac{X}{Y}\sim$Pareto$(1,n)$.

NOTA: Wikipedia no es del todo correcto en este caso. Ver Dilip la respuesta.

Answer 2

Como se señaló aquí, en Wikipedia, la respuesta a la pregunta planteada por el OP no es muy correcto. Si $X$ es una variable aleatoria Gamma con parámetros de $(n,1)$ $Y$ es una exponencial de la variable aleatoria con el parámetro $1$ $X$ $Y$ son independientes de las variables aleatorias, a continuación, $Y/X$ es no una variable aleatoria de Pareto, pero $Z = Y/X + 1$ es:
$$P\{Z > z\} = P\{Y/X + 1 > z\} = z^{-n}~ \text{for}~ z > 1.$$ Una escala común parámetro $\lambda$ podría ser incluido en ambas variables, pero ya que estamos buscando en proporciones, el parámetro de escala cancela, y es conveniente establecer $\lambda = 1$.

Supongamos que $X$ indica el tiempo de la $n$-th llegada después de las $t = 0$ en un proceso de Poisson con la llegada de la tasa de $1$. A continuación, $X$ es una variable aleatoria Gamma con parámetros de $(n,1)$. Deje $Y$ el valor del adicional de tiempo de espera para la $(n+1)$-ésimo de la llegada. A continuación, $Y$ es una exponencial de la variable aleatoria con el parámetro $1$ y es independiente de $X$. Por lo tanto, tenemos la situación descrita en el párrafo anterior. Pero tenga en cuenta que el $(n+1)$-th hora de llegada es sólo $W = Y + X$, e $Z = Y/X + 1 = (Y+X)/X = W/X$ es por tanto la relación de la $(n+1)$-th y $n$-ésimo de la llegada de los tiempos, y es una variable aleatoria de Pareto. Naturalmente $Z > 1$.

En resumen, si $W$ $X$ $(n+1)$- th y $n$-th tiempos de llegada en un (homogéneo) proceso de Poisson, a continuación, $W/X$ es una de Pareto $(1,n)$ variable aleatoria: $P\{W/X > a\} = a^{-n}$$a > 1$.