$\frac{{\sin \theta \cos \theta}}{1!}+\frac{{\sin 2\theta \cos ^2\theta}}{2!}+\frac{{\sin 3\theta \cos ^3\theta}}{3!}+...\infty$

Question

He tratado de sustituir $\ x$ $\cos x$ en la serie de maclaurin de $\ e^x$, pero se quedó con la $\sin$ términos. ¿Hay algún otro método para resolver esta cuestión.

Answer 1

Intente $x\rightarrow \cos \theta \cdot e^{i\theta}$ en el mismo de la serie de Maclaurin. A continuación, la parte imaginaria es lo que usted está buscando.

$$e^{\cos\theta(\cos\theta + i\sin\theta)}=1+\frac{\cos\theta(\cos\theta + i\sin\theta)}{1!}+\frac{\cos^2\theta(\cos2\theta + i\sin2\theta)}{2!}+\frac{\cos^3\theta(\cos3\theta + i\sin3\theta)}{3!}+...$$

Answer 2

$$e^{ix} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{i^{n} \, x^{n}}{n!} = \cos(x) + i \, \sin(x)$$ $$e^{x \, e^{i \theta}} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n!} \, e^{i n \theta}$$ $$e^{x \, e^{-i \theta}} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n!} \, e^{-i n \theta}$$

$$\begin{align} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n} \, \sin(n \theta)}{n!} &= \frac{1}{2i} \, \left( e^{x \, e^{i \theta}} - e^{x \, e^{-i \theta}} \right) = \frac{1}{2i} \, e^{x \, \cos(\theta)} \, \left( e^{i \, x \sin(\theta)} - e^{-i \, x \sin(\theta)} \right)\\ &= e^{x \, \cos(\theta)} \, \sin(x \, \sin(\theta)) \end{align}$$

$$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{\cos^{n}(\theta) \, \sin(n \theta)}{n!} = e^{ \cos^2(\theta)} \, \sin(\cos(\theta) \, \sin(\theta))$$