¿Cómo puedo utilizar el Teorema Fundamental del Simétrica Polinomios factorizar polinomios?

Question

¿Cómo puedo utilizar El teorema fundamental de los polinomios simétricos (o su prueba) para factorizar polinomios simétricos?

El enlace que he dado para el teorema de los usos elaborar formulaciones uso de 'anillos', 'isomorfo", etc.

Estoy totalmente de entender los objetos o describings son necesarios para tener una comprensión profunda, pero alguien podría intentar, si es posible, para explicar de forma sencilla cómo podría utilizar el teorema de, por ejemplo, el factor de

$(a^4+b^4)(a^2+b^2)-(a^3+b^3)^2 = a^2b^2(a^2+b^2-2ab)$

sin la comprensión de lo que los anillos son? Sólo deseo ser capaz de prácticamente uso.

Answer 1

Nota: Como ya se ha señalado por @ZilinJ el Teorema Fundamental de los Polinomios Simétricos garantiza la única representación de polinomios simétricos $P(x_1,\ldots,x_n)$ como polinomio $Q$ en la primaria simétrica polinomios $e_1,e_2,\ldots,e_n$ $n$ variables \begin{align*} P(x_1,x_2, \ldots,x_n)=Q(e_1,e_2,\ldots,e_n) \end{align*} con \begin{align*} e_1&=e_1(x_1,\ldots,x_n)=x_1+x_2+\cdots+x_n\\ e_2&=e_2(x_1,\ldots,x_n)=x_1x_2+x_1x_3+\cdots+x_{n-1}x_n\\ &\ldots\\ e_n&=e_n(x_1,\ldots,x_n)=x_1x_2\cdots x_n \end{align*}

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Esta respuesta se presenta un método para sistemáticamente transformar un polinomio simétrico en un polinomio representación elemental simétrica polinomios. Se basa en Pablo Pajares curso de álgebra de la sección $15$ Simétrica polinomios.

Vamos a empezar con el OPs ejemplo y, a continuación, seguir con un poco más compleja, para ver mejor cómo funciona el método.

OPs polinomio simétrico $P(a,b)$ es

\begin{align*} P(a,b)&=(a^4+b^4)(a^2+b^2)-(a^3+b^3)^2\\ &=a^4b^2-2a^3b^3+a^2b^4\\ &=a^2b^2(a^2-2ab+b^2) \end{align*}

Consideramos que la escuela primaria simétrica polinomios en $2$ variables $a,b$: \begin{align*} e_1&=e_1(a,b)=a+b\\ e_2&=e_2(a,b)=ab \end{align*} Podemos observar, que un factor de $P(a,b)$ ya está dado como polinomio simétrico \begin{align*} P(a,b)=e_2(a,b)^2\cdot(a^2-2ab+b^2) \end{align*} y ponemos el foco en \begin{align*} f(a,b)=a^2-2ab+b^2 \end{align*}

El método: Si es obvio para representar a $f(a,b)$ a través de primarias simétrica polinomios hemos terminado. De lo contrario, simplificar $f(a,b)$ por la configuración de la variable $b=0$. Esto reduce el número de variables por uno y wie obtener una función \begin{align*} q(a):=f(a,0)=a^2 \end{align*} Encontrar una representación del polinomio $q(a)$ como polinomio $Q(a)$ en primaria simétrica polinomios $e_1(a)=a$ \begin{align*} q(a)=Q(e_1(a))=e_1(a)^2=a^2 \end{align*} Considere el polinomio $g(a,b)$ con \begin{align*} g(a,b)=Q(e_1(a,b))=e_1(a,b)^2 \end{align*} Entonces \begin{align*} \frac{f(a,b)-g(a,b)}{e_2(a,b)}=\frac{a^2-2ab+b^2-(a+b)^2}{ab}=-4\tag{1} \end{align*} es un polinomio de menor grado de $f$. Ahora aplique el método de este polinomio con grado inferior.

Desde el polinomio $-4$ ya es bastante simple, podemos calcular el $f(a,b)$

\begin{align*} f(a,b)=-4e_2(a,b)+g(a,b)=-4e_2(a,b)+e_1(a,b)^2 \end{align*}

Se obtiene finalmente una representación de la OPs polinomio $P(a,b)$ de acuerdo a (1) como el polinomio de primaria simétrica polinomios

\begin{align*} P(a,b)&=e_2(a,b)^2\cdot(-4e_2(a,b)+e_1(a,b)^2)\\ &=-4e_2(a,b)^3+e_2(a,b)\cdot e_1(a,b)^2\\ &=-4(ab)^3+(ab)^2(a+b)^2 \end{align*}

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Segundo ejemplo: $f_1(a,b,c)=a^3+b^3+c^3$

Nos muestran \begin{align*} f_1(a,b,c)&=3e_3(a,b,c)-3e_2(a,b,c)e_1(a,b,c)+e_1(a,b,c)^3\\ &=3(abc)-3(ab+ac+bc)(a+b+c)+(a+b+c)^3 \end{align*}

Calculamos este ejemplo ligeramente más complejo mediante la aplicación del método en dos pasos.

Consideramos que la escuela primaria simétrica polinomios en $3$ variables $a,b,c$: \begin{align*} e_1&=e_1(a,b,c)=a+b+c\\ e_2&=e_2(a,b,c)=ab+ac+bc\\ e_3&=e_3(a,b,c)=abc\\ \end{align*}

El método:

Paso $1$: No es obvio para representar a $f_1(a,b,c)$ a través de primarias polinomios simétricos y por lo que aplicar el método de ajuste de la variable $c=0$. Esto reduce el número de variables por uno y obtenemos una función \begin{align*} q_1(a,b):=f_1(a,b,0)=a^3+b^3 \end{align*}

Paso $2$: Según el método que se debe encontrar una representación del polinomio $q_1(a,b)$ como polinomio $Q_1(a,b)$ en primaria simétrica polinomios $e_1(a,b)$$e_2(a,b)$.

Ya no vemos una representación de inmediato, consideramos $q_1(a,b)$ como polinomio $f_2(a,b):=q_1(a,b)$ y aplicar la primera parte de la metodología de nuevo.

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Empezamos con \begin{align*} f_2(a,b)=a^3+b^3 \end{align*} Hemos vuelto a reducir el número de variables por uno y obtenemos una función \begin{align*} q_2(a):=f_2(a,0)=a^3 \end{align*} Ahora es fácil ver, que $q_2(a)$ puede ser representado a través de la escuela primaria, el polinomio simétrico $e_1(a)=a$ \begin{align*} q_2(a)=Q_2(e_1(a))=e_1(a)^3=a^3 \end{align*} Consideramos el polinomio $g_2(a,b)$ con \begin{align*} g_2(a,b)=Q_2(e_1(a,b))=e_1(a,b)^3=(a+b)^3 \end{align*} Entonces \begin{align*} \frac{f_2(a,b)-g_2(a,b)}{e_2(a,b)}=\frac{a^3+b^3-(a+b)^3}{ab}=-3(a+b)=-3e_1(a,b)\tag{2} \end{align*} es un polinomio de menor grado de $f_2$.

Podemos observar de acuerdo a (2)

\begin{align*} f_2(a,b)=-3e_1(a,b)e_2(a,b)+g_2(a,b)=-3e_1(a,b)e_2(a,b)+e_1(a,b)^3\tag{3} \end{align*} Hemos sistemáticamente encuentra una representación de $q_1(a,b)=f_2(a,b)$ como polinomio de primaria simétrica polinomios y continuar con el paso 1.

Paso $1$ continúa:

Desde $q_1(a,b)=a^3+b^3=f_2(a,b)$ obtenemos de acuerdo a (3) \begin{align*} q_1(a,b)=-3e_1(a,b)e_2(a,b)+e_1(a,b)^3 \end{align*} continuamos con la definición de \begin{align*} g_1(a,b,c)&=-3e_2(a,b,c)e_1(a,b,c)+e_1(a,b,c)^3\\ &=-3(ab+ac+bc)(a+b+c)+(a+b+c)^3\\ &=a^3+b^3+c^3-3abc \end{align*}

Calculamos \begin{align*} \frac{f_1(a,b,c)-g_1(a,b,c)}{e_3(a,b,c)}&=\frac{f_1(a,b,c)+3e_2(a,b,c)e_1(a,b,c)-e_1(a,b,c)^3}{abc}\\ &=\frac{(a^3+b^3+c^3)-(a^3+b^3+c^3-3abc_)}{abc}\\ &=3\\ \end{align*} y finalmente a la conclusión de \begin{align*} f_1(a,b,c)&=3e_3(a,b,c)+g_1(a,b,c)\\ &=3e_3(a,b,c)-3e_2(a,b,c)e_1(a,b,c)+e_1(a,b,c)^3\\ &=3(abc)-3(ab+ac+bc)(a+b+c)+(a+b+c)^3 \end{align*}

Answer 2

Si he entendido bien, el teorema fundamental de los polinomios simétricos dice que un polinomio simétrico de a $x_1, x_2, \dots, x_n$ puede ser escrito como un polinomio de $$\quad e_1 = \sum_i x_i,\quad e_2 = \sum_{i < j}x_ix_j, \quad \dots, \quad e_n = \prod_i x_i.$$

Por ejemplo, el polinomio simétrico $(a^4+b^4)(a^2+b^2)-(a^3+b^3)^2$ puede ser escrito como un polinomio de $x = a + b, y = ab$. En este ejemplo, inductivamente uno puede conseguir $a^n + b^n$ en términos de $x,y$. Tenga en cuenta que $$a^2 + b^2 = (a+b)^2-2ab = x^2-2y,$$ $$a^3 + b^3 = (a^2 + b^2)(a+b) - ab(a+b) = (x^2-2y)x - yx = x^3-3xy,$$ $$a^4+b^4 = (a^3+b^3)(a+b)-ab(a^2+b^2) = (x^3-3xy)x-y(x^2-2y)=x^4-4x^2y+2y^2.$$

Por lo tanto, tenemos $$(a^4+b^4)(a^2+b^2)-(a^3+b^3)^2 = (x^2-2y)(x^4-4x^2y+2y^2)-(x^3-3xy)^2 = x^2y^2-4y^3.$$

En general, una vez que un polinomio simétrico está escrito en términos de primaria simétrica polinomios, podría ser más fácil observar los factores. En este ejemplo, $x^2y^2-4y^3 = y^2(x^2-4y)$.

Advertencia de que Uno podría querer sustituir el original de variables hacia atrás para ver si ciertos factores pueden ser factorizados más. En el ejemplo, $x^2-4y$ es irreductible, sin embargo $x^2-4y = a^2+b^2-2ab = (a-b)^2$ es reducible.

Answer 3

Les voy a dar un algoritm para encontrar la factorización. Voy a utilizar su polinomio para mostrar la forma en que funciona. Para un polinomio en $k$ variables del algoritmo se puede describir como:

1. Fin de los términos de su polinomio en lexicográfica ordening.
2. Supongamos que el mayor plazo es $X_{1}^{n_1}\cdots X_{k}^{n_k}$, luego restar $e_{1}^{n_1-n_2}e_{2}^{n_2-n_3}\cdots e_{k}^{n_k}$.
3. Recuerde que este término y regresar al paso 1 con su nuevo polinomio. Si el nuevo polinomio es cero, ya ha terminado.
4. Agregar todos los términos que se encuentran para obtener su representación para el polinomio original.

No voy a demostrar que funciona, solo voy a mostrar cómo se aplican. El lexicográfica ordening significa que empezamos con el término que tiene mayor $n_1$, entonces, si los dos tienen el mismo valor de $n_1$ elegimos el uno con el más alto $n_2$ etc.

Su polinomio: $f = (a^4+b^4)(a^2+b^2)−(a^3+b^3)^2 = a^4b^2 -2a^3b^3+ a^2b^4$, poner en el lexicográfica ordening. A continuación creamos \begin{equation}f_1 = f - e_{1}^{4-2}e_{2}^{2} = f-(a+b)^2(ab)^2 = (a^4b^2-2a^3b^3+ a^2b^4) - (a^4b^2+2a^3b^3 + a^2b^4) = 0. \end{equation} Pues esto es igual a cero se realiza después de un paso y a la conclusión de que $f = f_1 + e_{1}^{4-2}e_{2}^{2} = 0 + e_{1}^{4-2}e_{2}^{2} = (a+b)^2(ab)^2$.

Answer 4

Sólo quiero añadir una manera fácil para que los lectores: (puede ser utilizado en Espacios Proyectivos en la Geometría Algebraica)

Primero, coloque $b=1$ (esto es dehomogenize). Entonces $$(a^4+1)(a^2+1)-(a^3+1)^2=a^2(a^2+1-2a).$$ Now homoginize it to degree $6$: $$a^2b^2(a^2+b^2-2ab).$$