Así es como yo lo veo:
La continuidad se refiere a cada punto dado para encontrar las proporciones de una ventana $$ \mathrm{height}\times \mathrm{width}=2\varepsilon\times 2\delta $$ de tal manera que la gráfica pasa por los lados, no por la parte superior o inferior. O para ser más precisos, ningún punto de la curva se encuentra directamente por encima o por debajo de la ventana.
En el sentido de la palabra: Una curva es puntualmente continua, si en cada punto es posible para cualquier altura dada $2\varepsilon$ para ajustar la anchura $2\delta$ para que la curva pase por los lados de la ventana. De nuevo, ningún punto debe estar directamente por encima o por debajo.
Uniforme: Una curva es uniformemente continua, si para cualquier altura dada $2\varepsilon$ es posible encontrar un ancho $2\delta$ de una ventana que funciona para toda la curva.
Como puede ver, la ventana azul sólo funciona para la parte inferior de la curva, mientras que la ventana roja funciona para toda la curva. Dado que esto será cierto para cualquier altura de ventana dada $2\varepsilon$ Por muy pequeña que sea la anchura, la curva azul NO es uniformemente continua. Para la curva roja, siempre es posible ajustar la anchura $2\delta$ (que sea lo suficientemente pequeño) para que la ventana funcione para toda la curva.
Dimensiones superiores: Para las funciones $F:\mathbb R^n\to\mathbb R$ con gráficos en $\mathbb R^{n+1}$ y $y=F(x)$ , sustituye la noción de ventana con la noción de cilindro : $\mathcal B_{\delta}(x)\times(y+[-\varepsilon,\varepsilon])$ . Entonces ningún punto debe estar "por encima" o "por debajo" de ese cilindro, en el sentido de que ningún punto con su primer $n$ Las coordenadas contenidas en la primera bola deben estar fuera del intervalo especificado en la última coordenada.
Y para $G:\mathbb R^n\to\mathbb R^m$ teniendo $y=G(x)$ utilizar un producto de bolas $\mathcal B_{\delta}(x)\times\mathcal B_{\varepsilon}(y)\subseteq\mathbb R^{n+m}$ . Aquí no hay puntos con la primera $n$ Las coordenadas contenidas en la primera bola deben tener la última $m$ coordina el escape de la segunda bola.
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