45 votos

¿Cuál es la diferencia geométrica entre la continuidad y la continuidad uniforme?

  1. ¿Podemos explicar entre la continuidad ordinaria y Continuidad uniforme diferencia geométricamente ?

  2. ¿Cuál es la mejor manera de describir la diferencia entre estos dos conceptos?

  3. Cuando la motivación de Continuidad uniforme ¿de dónde vino?

Gracias.

0 votos

97voto

String Puntos 8937

Así es como yo lo veo:

enter image description here

La continuidad se refiere a cada punto dado para encontrar las proporciones de una ventana $$ \mathrm{height}\times \mathrm{width}=2\varepsilon\times 2\delta $$ de tal manera que la gráfica pasa por los lados, no por la parte superior o inferior. O para ser más precisos, ningún punto de la curva se encuentra directamente por encima o por debajo de la ventana.

En el sentido de la palabra: Una curva es puntualmente continua, si en cada punto es posible para cualquier altura dada $2\varepsilon$ para ajustar la anchura $2\delta$ para que la curva pase por los lados de la ventana. De nuevo, ningún punto debe estar directamente por encima o por debajo.

Uniforme: Una curva es uniformemente continua, si para cualquier altura dada $2\varepsilon$ es posible encontrar un ancho $2\delta$ de una ventana que funciona para toda la curva.

Como puede ver, la ventana azul sólo funciona para la parte inferior de la curva, mientras que la ventana roja funciona para toda la curva. Dado que esto será cierto para cualquier altura de ventana dada $2\varepsilon$ Por muy pequeña que sea la anchura, la curva azul NO es uniformemente continua. Para la curva roja, siempre es posible ajustar la anchura $2\delta$ (que sea lo suficientemente pequeño) para que la ventana funcione para toda la curva.

Dimensiones superiores: Para las funciones $F:\mathbb R^n\to\mathbb R$ con gráficos en $\mathbb R^{n+1}$ y $y=F(x)$ , sustituye la noción de ventana con la noción de cilindro : $\mathcal B_{\delta}(x)\times(y+[-\varepsilon,\varepsilon])$ . Entonces ningún punto debe estar "por encima" o "por debajo" de ese cilindro, en el sentido de que ningún punto con su primer $n$ Las coordenadas contenidas en la primera bola deben estar fuera del intervalo especificado en la última coordenada.

Y para $G:\mathbb R^n\to\mathbb R^m$ teniendo $y=G(x)$ utilizar un producto de bolas $\mathcal B_{\delta}(x)\times\mathcal B_{\varepsilon}(y)\subseteq\mathbb R^{n+m}$ . Aquí no hay puntos con la primera $n$ Las coordenadas contenidas en la primera bola deben tener la última $m$ coordina el escape de la segunda bola.

0 votos

Esta es una explicación muy bonita. +1

0 votos

Estoy de acuerdo, ¡muy bonito!

0 votos

¡Muy bonito! ¿Qué software? ¿GeoGebra? +1

17voto

chaiwalla Puntos 1132

$\newcommand{\Reals}{\mathbf{R}}$ Esta es mi "arma secreta" para detectar visualmente la continuidad uniforme:

Si $E$ es un conjunto acotado y no vacío de números reales y $f:E \to \Reals$ es una función continua, entonces $f$ es uniformemente continua si y sólo si existe una extensión continua $\overline{f}:\overline{E} \to \Reals$ . (Esta afirmación es cierta en una generalidad mucho mayor, por ejemplo, si $E$ es un subconjunto totalmente acotado y no vacío de un espacio métrico completo. Yo diría que este teorema por sí solo proporciona una justificación adecuada para considerar el concepto de continuidad uniforme. :)

Se deduce de inmediato que las siguientes funciones acotadas son no uniformemente continua en el conjunto $E = \Reals \setminus\{0\}$ de números reales distintos de cero, pero son uniformemente continua en $\Reals \setminus [-\delta, \delta]$ por cada $\delta > 0$ : $$ f(x) = \sin(1/x);\qquad g(x) = x/|x|. $$ El hecho de que $g$ es localmente constante (derivada evanescente en todo su dominio) pone de manifiesto la naturaleza global y dependiente del dominio de la continuidad uniforme.

Del mismo modo, si $\phi$ es continua en $\Reals$ y $\phi(x) \to 0$ como $x \to 0$ , entonces para cada entero positivo $k$ la función $h(x) = \phi(x) \sin(1/x^{k})$ es uniformemente continua en $(-1, 0) \cup (0, 1)$ . (Ajuste $h(0) = 0$ define una extensión continua; no se puede hacer que el factor sinusoidal oscile lo suficientemente rápido como para estropear esto, no importa lo "lento" que sea $|\phi|$ decae cerca de $0$ .)

Por razones similares, la función de ángulo polar $\theta$ no es uniformemente continua en el plano con el disco unitario cerrado y el eje horizontal negativo eliminado, aunque el dominio esté conectado y el gradiente tenga una magnitud limitada . (El ángulo $\theta$ "quiere" tomar ambos valores $\pm\pi$ a lo largo del eje horizontal negativo, por lo que no hay una extensión continua al cierre).

1 votos

"detectar visualmente la continuidad uniforme" me parece increíble.

0 votos

@LuisGomezSanchez: En el sentido de poder echar un vistazo a una gráfica de una función de una variable (digamos) y decidir rápidamente si la función es o no uniformemente continua (como con los ejemplos mencionados), del mismo modo que se enseña a los estudiantes de cálculo a reconocer la continuidad o diferenciabilidad de una gráfica. :)

0 votos

Esta respuesta me parece especialmente perspicaz. (+1)

14voto

CodingBytes Puntos 102

Considere el gráfico $y=f(x)$ de una función $f:{\mathbb R}\to{\mathbb R}$ y un " $\>\epsilon$ -manguera" $$F_\epsilon:=\bigl\{(x,y)\>\bigm|\> |y-f(x)|<\epsilon\bigr\},\qquad \epsilon>0,$$ a su alrededor. Si $f$ es uniformemente continua, entonces existe un $\delta>0$ tal que todos los gráficos traducidos horizontalmente $y=f_h(x):=f(x-h)$ con $|h|<\delta$ encajará en $F_\epsilon$ .

Si $f$ no es uniformemente continua, entonces para algunos (por lo que para todos los convenientemente pequeños) $\epsilon>0$ y todos $n$ hay dos puntos $x$ , $x'$ con $|x-x'|<{1\over n}$ y $|f(x)-f(x')|\geq\epsilon$ . Se deduce que cualquier gráfico $f_h$ con $|h|>0$ trascenderá la frontera de $F_\epsilon$ en alguna parte.

0 votos

Muy buena explicación. Así, la gráfica de una función continua unitaria en algún intervalo no puede ser "demasiado empinada". +1

1 votos

@Timbuc: Bueno, no del todo. La función $g(x)=\sqrt x$ que considero en mi respuesta es uniformemente continua aunque la gráfica se vuelve arbitrariamente empinada cerca de $x=0$ .

2 votos

@String Hmmm....Creo que estás pensando en la derivada de la función (pendiente) o algo así. Yo estoy más en considerar la diferencia de valores de la función wrt la diferencia de los valores de la variable. En $\;\dfrac1x\;$ , no importa lo cerca que coja dos valores de $\;x,y\;$ a medida que nos acercamos más y más a cero la diferencia entre $\;\dfrac1x\,,\,\dfrac 1y\;$ no puede ser acotado (en el sentido épsilon-delta). No ocurre lo mismo con $\;\sqrt x\;$ , cuyos valores en $\;x,y\;$ son fácilmente acotados por muy cerca que estemos de cero.

5voto

user21306 Puntos 29

A grandes rasgos, la diferencia entre continuidad y continuidad uniforme es la misma diferencia entre la frase "para cualquier persona $x_1$ existe otra persona $x_2$ tal que $x_2$ es tan alto como, o más alto que, $x_1$ " y "existe una persona $x_2$ de manera que para cualquier persona $x_1$ , $x_2$ es tan alto como, o más alto que, $x_1$ ". La segunda es más fuerte que la primera, porque postula la existencia de personas con altura máxima, mientras que la segunda no significa necesariamente eso. Bueno, para ser precisos las dos frases son equivalente pero sólo porque el conjunto de todas las personas es finito. Si consideramos conjuntos infinitos la cosa cambia. Por ejemplo, la función $y = f(x) = 2 \, x$ disfruta de la primera propiedad (elige $x_1 = x_2$ ) pero no la segunda (una línea recta no tiene máximos).

La continuidad uniforme no sólo requiere que se pueda hacer que la salida de una función se acerque a su límite para un punto de entrada dado, acercando las entradas al propio punto: También requiere que no necesitan saber cuál es el punto para saber lo cerca que deben estar sus entradas. Véalo como un juego en el que su adversario comienza eligiendo un punto $x_0$ y una distancia $\epsilon$ del límite, entonces se responde con una distancia $\delta$ entonces el adversario elige un punto $\hat{x}$ que tiene como máximo la distancia $\delta$ de $x_0$ y usted gana si $f(\hat{x})$ tiene como máximo la distancia $\epsilon$ del límite. En este juego $f$ es continua si se puede ganar siempre (es decir, hay una estrategia que permite ganar siempre, como en el juego de tres en raya hay una estrategia que permite empatar siempre). Si existe la regla adicional de que no puede ver el $\delta$ tu oponente elige, y sin embargo siempre puedes ganar, entonces $f$ es uniformemente continua.

2voto

Ataulfo Puntos 3108

A grandes rasgos, geométricamente en los espacios métricos E y F, para toda bola $B_r$ en E existe una bola $B_s$ en F tal que f( $B_r$ ) ⊂ $B_s$ .

Dos propiedades importantes de una f uniformemente continua de E a F son : (1) la imagen de toda sucesión de Cauchy en E es Cauchy en F; (2) si f aplica un subconjunto denso de E en un espacio métrico COMPLETO F, entonces f admite una extensión única a una función g que es uniformemente continua sobre todo E.Esto es quizás dos de las "motivaciones" que pides.

i-Ciencias.com

I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.

Powered by:

X