Calcular una expresión sin calcular las raíces

Question

Sea a y b las raíces de esta ecuación:

x^2 - x - 5 = 0

Encontrar el valor de

(a^2 + 4b - 1)(b^2 + 4a - 1)

Sin calcular los valores de a y b.

Vi esto en un problemas de sitio y lo probé, pero tengo 100 y no creo que es correcto.

Answer 1

Este es un ejercicio en la escuela primaria simétrica polinomios. Escribir $s_1=a+b$$s_2=ab$. A partir de la ecuación $$ x^2-x-5=(x-a)(x-b)=x^2-(a+b)x+ab=x^2-s_1x+s_2 $$ podemos leer que $s_1=1$$s_2=-5$.

El número que usted quería saber es $$ (a^2+4b-1)(b^2+4a-1)=a^2b^2+4 * (a^3+b^3)+16ab-4(a+b)-(a^2+b^2)+1. $$ Necesitamos expresar las cantidades entre paréntesis en términos de$s_1$$s_2$. Esto no es demasiado difícil, porque a partir de $$ s_1^2=a^2+2ab+b^2=(a^2+b^2)+2s_2 $$ llegamos $a^2+b^2=s_1^2-2s_2=11$. De manera similar de $$ s_1^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3=(a^3+b^3)+3ab(a+b) $$ tenemos que $a^3+b^3=s_1^3-3s_1s_2=16.$

Poniendo todo esto junto le da $$ (a^2+4b-1)(b^2+4a-1)=25+64-80-4-11+1=-5. $$

Lo que hace esta garrapata es que $(a^2+4b-1)(b^2+4a-1)$ es simétrica en las incógnitas $a$$b$. IOW si intercambia los valores de $a$ $b$ nada va a cambiar. Tales funciones polinómicas puede ser escrita en términos de la primaria simétrica polinomios $s_1$$s_2$. Este resultado se puede generalizar a varias incógnitas. La palabra de moda "primaria/básica simétrica polinomios" debe darle suficiente material. El poder de las sumas tales como $a^3+b^3$ son un conocido caso especial. La palabra de moda "de Newton identidades" ayuda a usted allí.

Answer 2

Hacer uso repetido de $a^2=a+5$, $b^2=b+5$, $a+b=1$, $ab=-5$.

Answer 3

Sugerencia:

$$ a^2 + 4b - 1 = a^2 - a - 5 + 4b + un + 4 = 4b + un + 4 $$