Distancia a la Ciudad en Diagonal

Question

Si yo tuviera a la cruz de la esquina suroeste de la ciudad en la esquina noreste de forma rectangular de la ciudad y podría hacerlo en helicóptero, la distancia sería de $\sqrt{x^2 + y^2}$, que es menos de $x + y$.

Si me eligió a la cruz de la misma ciudad a pie, y decidí viajar diagonalmente, yo tendría que ir por bloques de la ciudad y la distancia sería de $x + y$. Como puedo hacer que los bloques más pequeños, la distancia es todavía $x + y$.

Parece que este debe ser capaz de ser expresada como un límite que se evalúa a $\sqrt{x^2 + y^2}$ como los tamaños de los bloques enfoque de $0$.

Answer 1

La longitud del arco es intrínsecamente mucho más complicada que la de la zona. Recordemos un par de fórmulas. Supongamos que $f(x)\ge 0$ en el intervalo de $[a,b]$, $f(x)$ es continua en dicho intervalo.

Entonces el área de la región bajo la curva $y=f(x)$, por encima de la $x$ eje, a partir de la línea vertical $x=a$ a la línea de $x=b$ está dado por

$$\int_a^b f(x)dx$$

Si tenemos una curva de $y=g(x)$, que en medio de la ampliación, es visualmente indistinguibles de $y=f(x)$, entonces el área bajo $y=g(x)$, por encima de la $x$-eje, de$x=a$$x=b$, va a ser casi exactamente el mismo que el área correspondiente para $y=f(x)$. Así que si nos aproximan a la curva de $y=f(x)$ más y más de cerca con una secuencia de funciones de $g_n(x)$, vamos a tener $$\lim_{n \to\infty}\int_a^b g_n(x)dx =\int_a^bf(x)dx$$

Por lo tanto el área, en límites, se comporta muy bien.

Ahora, echemos un vistazo a la longitud de la curva de $y=f(x)$$x=a$$x=b$. Usted puede recordar de un curso de cálculo la siguiente "fórmula" para la longitud de arco.

$$\int_a^b \sqrt{1+(f'(x))^2}dx$$

Hay serios problemas con esta fórmula, que no se muestra con la correspondiente fórmula para el área. Supongamos que la curva de $y=g(x)$ es, en medio de la ampliación, visualmente indistinguibles de $y=f(x)$. Podría ser que $y=f(x)$ es muy suave, pero que bajo de alta magnificación $y=g(x)$ es muy irregular. Así, a pesar de las curvas se parecen mucho a la misma, y las áreas debajo de ellos son prácticamente los mismos, sus longitudes de arco pueden ser notablemente diferentes. De hecho, en casos extremos, puede ser que la única razonable de longitud de arco para asignar a $y=g(x)$ es "el infinito." El problema es que incluso si $f(x)$ está muy cerca de a $g(x)$ para todos los $x$, $f'(x)$ puede ser muy diferente de la de $g'(x)$.

El fenómeno ha sido muy discutido en la literatura popular sobre los fractales. Mira la longitud de la línea de la costa de Florida. La respuesta que se obtiene si se intenta medir las cosas en un mapa es altamente dependiente de la escala del mapa. Más y más aumento se revelan más y más detallada de las sangrías, de modo que la longitud crecerá considerablemente. Por el contrario, la zona de la Florida como calculados utilizando diferentes en escala de los mapas no va a cambiar mucho.

Para las funciones lisas, usted puede venir para arriba con un buen comportamiento de la limitación de proceso para la longitud de arco de la siguiente manera. Tomar un gran número de estrechamente espaciados puntos de la curva, y unirse a los puntos vecinos por segmentos de línea recta. Como el número de segmentos de línea se hace muy grande, la longitud combinada de estos segmentos de enfoque de la longitud de arco de la curva.

Usted se dará cuenta de que el "más corto y más corto de los bloques de" enfoque de tu post es que no obtenida por la toma de un gran número de puntos sobre la curva y unirse a ellos por segmentos de línea recta.

Answer 2

Deje $f(x)$ ser definido de forma periódica en la recta real con período de $1$ definido en $[0,1/2]$ $f(x)=x/\sqrt{2}$ y en $[1/2,1]$$f(x)=(1-x)/\sqrt{2}$.

De manera que la gráfica de $f(x)$ es sólo un simple zig-zag.

A continuación, la ruta de su recorrido por la ciudad, girado por $45$ grados, con bloques de tamaño $1/2^n$, es la gráfica de la función: $f_n(x) = f(2^nx)/2^n$$x\in[0,1]$.

Ahora, de cálculo, recordemos que la longitud de la gráfica de $f_n$ no depende de los valores de $f_n$, pero en los valores de $|f_n'|$. Y $|f_n'|=1/\sqrt{2}$ todos los $n$, por lo que la longitud de la gráfica no cambia como $n\rightarrow \infty$.

Por lo que el resultado esencial es que sólo porque $f_n\rightarrow 0$, aún de manera uniforme, no significa que $f_n'\rightarrow 0$.

Answer 3

Ves que la distancia de los viajes a pie es constante ($d_F = x+y$) cualquiera que sea el tamaño de bloque. Por lo tanto, no puede suceder que el límite cuando el tamaño del bloque tiende a cero es diferente ($d_D = \sqrt{x^2 +y^2}$).

Esto puede ser visto como una paradoja. La falsa conclusión proviene de dos supuestos, que intuitivamente parece cierto:

• La curva de F (viaje a pie) tiende a curva D (camino diagonal) cuando el tamaño de bloque tiende a cero.

• Si la curva F tiende a curva D, entonces la longitud de la curva de F debe tender a la de la curva de D.

• Ergo...

Pero debemos indicar con precisión lo que queremos decir cuando decimos que "una curva tiende a otro". Y entonces, si estamos de formalizar la noción de que, en una forma que encaja con la intuitiva "hecho" de que la curva de F, de hecho, tiende a D (se puede hacer), entonces vamos a encontrar que la segunda hipótesis no se sostiene. Y eso es todo. El post por Shai Covo da otro buen contraejemplo, y explicaciones más detalladas.

Answer 4

Esta es una respuesta que no utiliza el cálculo. Para cualquier rectángulo la suma de las longitudes de los lados adyacentes es una constante. Digamos que usted tiene un camino que va desde la esquina suroeste de la esquina noreste. Cada vez que el camino sigue a dos lados de un rectángulo alterar la ruta, si es necesario, para que usted viaje en el east-west side antes de la norte-sur. Esto no cambia la longitud de la trayectoria. Sigue haciendo esto hasta que todos los este-oeste venir antes de que cualquiera de los de norte a sur lados. Este camino sigue dos bordes del rectángulo de mayor tamaño. En los términos de la duda de la longitud de este camino es $x + y$.

Answer 5

Este post va a dar algunas ideas.