La pregunta está motivada por los problemas de cambio de base el libro sigue multiplicando las bases por la matriz $S$ de la izquierda para que los subíndices sean agradables y obviamente coincidentes, pero en los ejemplos las bases se multiplican por $S$ (el cambio de la matriz de base) desde cualquier lado. Entonces, ¿la multiplicación de la matriz es conmutativa si al menos una matriz es invertible?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Definitivamente no. El comentario de Yuan tampoco es correcto, las matrices diagonales no necesariamente conmutan con las matrices no diagonales. Consideremos $$\left[\begin{array}{cc} 1 & 1\\ 0 & 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc} a & 0\\ 0 & b\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc} a & b\\ 0 & b\end{array}\right] $$
Cambiando el orden obtengo $$ \left[\begin{array}{cc} a & 0\\ 0 & b\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc} 1 & 1\\ 0 & 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc} a & a\\ 0 & b\end{array}\right] $$ Lo que es diferente para $a\neq b$ .
Espero que eso ayude. (A veces el cambio de las matrices de base puede ir en diferentes lados por diferentes razones, pero sin ver el texto exacto que usted está hablando no puedo comentar)
MrDatabase
Puntos
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En general, dos matrices (invertibles o no) no conmutan. Por ejemplo $$\left(\begin{array}{cc} 1 & 1\\ 0 & 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} 1 & 0\\ 1 & 1\end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc} 2 & 1\\ 1 & 1\end{array}\right) $$ $$ \left(\begin{array}{cc} 1 & 0\\ 1 & 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} 1 & 1\\ 0 & 1\end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc} 1 & 1\\ 1 & 2\end{array}\right)$$
Además, para cambiar una base normalmente hay que conjugar y no sólo multiplicar por la izquierda (o sólo por la derecha).
Lo que sí se sabe es que una matriz A conmuta con $A^n$ para todos $n$ (también negativo si es invertible, y $A^0 = I$ ), por lo que para todo polinomio P (o polinomio de Laurent si A es invertible) se tiene que A conmuta con $P(A)$ .
