La desigualdad problema, positivos $a,b,c$ si $abc=1$, $\frac{1}{1+a+b^2}+\frac{1}{1+b+c^2}+\frac{1}{1+c+a^2}\leq1$

Question

Necesito ayuda o asesoramiento en la solución de esta desigualdad que estoy luchando para 3 días. He intentado todo lo que viene a la mente, pero estoy atascado. La desigualdad es como $$\sum_\textrm{cyc}\frac{1}{1+a+b^2}\leq1,\ abc=1, \ a,b,c>0$$ This can be written as $$\frac{1}{1+a+b^2}+\frac{1}{1+b+c^2}+\frac{1}{1+c+a^2}\leq1$$

He tratado de Jensen en la función de $\frac{1}{1+x}$, AM-GM en el denominador, de Cauchy-Schwarz para cada término, pero sigo pegado.

Answer 1

La siguiente técnica puede lidiar con muchos de los anteriores tipo de desigualdades. Por ejemplo, en el Problema 3 de la OMI 2005 puede ser resuelto usando la misma idea (pero un poco más fácil). Las personas que participan en Olimpiadas de matemáticas debe tener en mente.

Para cualquier $k$, la aplicación de Cauchy-Schwarz desigualdad tenemos $$(1+a+b^2)(c^{2k} + a^{2k-1} + b^{2k-2}) \ge (c^k+a^k+b^k)^2,$$ rendimiento $$\frac{1}{1+a+b^2} \le \frac{c^{2k} + a^{2k-1} + b^{2k-2}}{(a^k+b^k+c^k)^2}.$$ Lo mismo para los otros dos términos, tomando la suma, queda por demostrar $$\sum (a^{2k} + a^{2k-1} + a^{2k-2}) \le (a^k+b^k+c^k)^2$$ o equivalenty $$(a^{2k-1} + b^{2k-1} + c^{2k-1}) + (a^{2k-2} + b^{2k-2} + c^{2k-2}) \le 2(a^kb^k+b^kc^k+c^ka^k).$$ Re-escribiendo esto en forma homogénea: $$(abc)^{1/3}(a^{2k-1} + b^{2k-1} + c^{2k-1}) + (abc)^{2/3}(a^{2k-2} + b^{2k-2} + c^{2k-2}) \le 2(a^kb^k+b^kc^k+c^ka^k) \quad (*)$$ Basta con encontrar un valor de $k$ para que esta desigualdad se cumple para cualquier $a,b,c > 0$. En este caso, $k=2/3$ es un valor. De hecho, si $k=2/3$, denotan $x=a^{1/3},y=b^{1/3},z=c^{1/3}$, $(*)$ se convierte en $$xyz(x+y+z) + x^2y^2z^2\left(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}\right) \le 2(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2),$$ o, equivalentemente, $$xyz(x+y+z) \le x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2,$$ que es sólo $rs+st+tr \le r^2+s^2+t^2$$r=xy,s=yz,t=zx$.

Observación.

1. La desigualdad de $(*)$ no es cierto para el trivial valor de $k=1$. (Este fue mi primer intento.)
2. Yo podría no hemos mencionado la $k$ en todo, sólo implícitamente establece a $2/3$, y poner $x=a^{1/3},y=b^{1/3},z=c^{1/3}$ al comienzo de la prueba. Sin embargo, creo que es útil para mostrar cómo obtuve la solución.