Si establecemos la constante de Boltzmann como $1$, entonces la entropía simplemente sería $\ln \Omega$, la temperatura se mediría en $\text{julios}$ ($\,\text{J}\,$), y la energía cinética promedio sería un entero multiplicado por $\frac{T}{2}$. ¿Por qué necesitamos unidades separadas para la temperatura y la energía?
Una razón por la que podrías pensar que $T$ debería medirse en Julios es la idea de que la temperatura es la energía promedio por grado de libertad en un sistema. Sin embargo, esta es solo una aproximación. Esa definición correspondería a algo proporcional a $\frac{U}{S}$ (energía interna sobre entropía) en lugar de $\frac{\partial U}{\partial S}$, que es la verdadera definición. La aproximación se cumple en casos donde el número de grados de libertad no depende mucho de la cantidad de energía en el sistema, pero para sistemas cuánticos, especialmente a bajas temperaturas, puede haber bastante dependencia.
Si aceptas que $T$ está definido como $\frac{\partial U}{\partial S}$ entonces la pregunta es si debemos tratar la entropía como una cantidad adimensional. Esto es ciertamente posible, como dices.
Pero para mí hay una muy buena razón práctica para no hacerlo: la temperatura no es una energía, en el sentido de que no tiene sentido, en general, sumar la temperatura a la energía interna de un sistema o igualarlas. Las unidades son una herramienta útil para evitar que accidentalmente intentes hacer algo así.
En la relatividad especial, por ejemplo, tiene sentido hacer $c=1$ porque entonces sí tiene sentido igualar una distancia a un tiempo. Al hacer eso, simplemente estás diciendo que el camino entre dos puntos es tipo luz.
Pero $T=\frac{\partial U}{\partial S}$ mide el cambio en energía con respecto a la entropía. La entropía y la energía son cantidades extensivas, mientras que la temperatura es una intensiva. Esto significa que no tiene mucho sentido igualarlas sin incluir también algún factor no constante relacionado con el tamaño del sistema. Por esta razón, es muy útil mantener la constante de Boltzmann.
Mi forma favorita personal de hacerlo es medir la entropía en bits, de modo que $k_B = \frac{1}{\ln 2} \,\mathrm{bits}$ y las unidades de temperatura son $\mathrm{J\cdot bits^{-1}}$. Tener entropía en lugar de temperatura como la cantidad con la unidad fundamental tiende a hacer mucho más claro lo que está sucediendo, y los bits son una unidad bastante conveniente en términos de construir una intuición sobre la relación con la teoría de la probabilidad.
@MichaelBrown lo siento, cometí un ligero error, $k_B$ es $1/\ln 2$ (porque luego $S=\frac{\ln \Omega}{\ln 2}\,\mathrm{bits} = \log_2 \Omega\,\, \mathrm{bits}$), por lo que el factor de conversión es $k_B\ln 2 \approx 8\times 10^{-24}$.
Además, para cantidades como $\Delta S$ en química, $1\,\mathrm{J/K/mol} \approx 5 \,\mathrm{bits/molécula}$.
La temperatura no puede medirse en unidades reservadas para la energía porque, por ejemplo, un grano de arena calentado a la misma temperatura que el Sol no contiene la misma cantidad de energía que el Sol.
La temperatura es la propiedad que, cuando dos cuerpos en contacto térmico tienen el mismo valor de ella, no fluye calor neto de un cuerpo al otro: están en equilibrio térmico.
Si intentas igualar esta propiedad con la energía, y por lo tanto asignarle unidades de Joule, no es físicamente correcto.
Dos cuerpos que no intercambian calor al estar en equilibrio térmico no son isoenergéticos. Uno podría contener mucha más energía que el otro.
Pero de hecho, la temperatura está relacionada con la energía. En un modelo de partículas (muy simplificado, idealizado) de un cuerpo de materia, la temperatura indica la energía cinética promedio de una partícula de ese cuerpo. Eso también te dice directamente que no puede tener unidades de energía: un fenómeno que corresponde a una medida de densidad de energía (energía por unidad de masa o volumen, o por partícula) no puede medirse en unidades de energía.
Estoy de acuerdo en principio, pero ten en cuenta que si se cumple la equipartición, medir la temperatura en unidades de energía sí tiene sentido: corresponde a la energía promedio por grado de libertad, y como este último es un número cardinal sin unidades, las densidades terminan teniendo la misma unidad.
Estoy en desacuerdo. Implicas que si dos cosas se miden en la misma unidad, entonces tienen que ser exactamente lo mismo. Por lo tanto, dices que un sistema de unidades que mide la temperatura en J no es "correcto". Bueno, creo que una persona conocedora puede entender que la temperatura no es exactamente lo mismo que el contenido total de energía, pero aún puede medir ambos en J. (En mi humilde opinión, la ventaja de utilizar kelvin no es que sea más "correcto", sino para reducir la frecuencia de errores y malentendidos confusos, ¡lo cual sigue siendo valioso!)
He visto que la temperatura se expresa en electronvoltios (eV) en la Física de Plasmas. Básicamente, se puede igualar $k_B T = e y$, donde $y$ es la temperatura en electronvoltios, y $T$ es la temperatura "térmica" en Kelvin. $e$ es el quantum de carga y $k_B$ es el factor de Boltzmann. Así que $1\mbox{ eV de temperatura} \approx 11600 \mbox{ K}$. (Se fijó $y$ en 1 para obtener la expresión). Supongo que es conveniente en la Física de Plasmas debido a las escalas de energía involucradas.
Las unidades del Sistema Internacional existían antes de que llegara la termodinámica estadística. No es un mal conjunto de unidades, no es el mejor conjunto de unidades. Simplemente arraigado. (Tengo debilidad por las unidades FFF)
Pero imagina escuchar en la radio: "hoy en el área metropolitana hace cuatro punto uno veces diez a la menos 21 Julios soleados". Un poco largo, ¿no crees?
¿Pero Julios, y no eV? Francamente, me gustan los libros que establecen c=1 y eliminan muchas constantes, pero luego se convierte en un infierno tratar de recordar dónde estarían las constantes si necesito la ecuación en otras unidades.
La inconveniencia de dar pronósticos del tiempo en julios es irrelevante: ya los damos en grados Celsius o Fahrenheit en lugar de kelvin, por ejemplo.
Lo que quiero decir es que es redundante decir T en Julios, de la misma manera que es redundante dar la velocidad del aire de un avión en milímetros por año. El eV, una unidad de energía como el Julios, sería mejor y sería el primero en darle la bienvenida para que podamos empezar a eliminar R y k.
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Mejor aún, podríamos expresarlo en términos de la temperatura de Planck. Entonces sería adimensional.
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Puedes razonar lo mismo para todo. La masa en términos de la masa de Planck ($m_P\frac{\hbar}{\ell_P c_0^2}$) es adimensional. La acción en términos de la constante reducida de Planck $\hbar$ o la constante de Planck es adimensional. La energía en términos de la Energía de Planck es adimensional. La velocidad en términos de la velocidad de la luz ($\frac{\ell_P}{t_P}$) es adimensional, la distancia/longitud en términos de la longitud de Planck/longitud de cuerdas es adimensional, el tiempo en términos del tiempo de Planck/longitud de cuerdas dividido por la velocidad de la luz es adimensional, la entropía en términos de la constante de Boltzmann $k_B$ (esto es lo que estás haciendo) etc... .
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Ten en cuenta que hay otro duplicado de esta pregunta, también muy votado, en el que se llega exactamente a la conclusión opuesta: physics.stackexchange.com/questions/231017/….