Correspondencia de la teoría de la representación entre $\mathrm{GL}_n(\mathbb C)$y $\mathrm U_n(\mathbb C)$

Question

1. Si sé algo acerca de la teoría de la representación de la lineal general de grupo $\mathrm{GL}_n(\mathbb C)$, lo que puedo decir acerca de la teoría de la representación de los grupo unitario $\mathrm U_n(\mathbb C)$? E. g. la ramificación de las reglas de

2. De manera similar para los grupos de $\mathrm{SO}_n(\mathbb C) \subset \mathrm O_n(\mathbb C)$?

3. Es el módulo más de ${\mathbb C\mathrm{GL}_n(\mathbb C)}$ que no es semi-simple necesariamente infinito-dimensional? ¿Cómo se hace normalmente? Ver nueva Pregunta aquí

4. Si tengo información acerca de la restricción de representaciones del grupo lineal general, puedo hacer ninguna declaración acerca de la inducción (por Frobenius reciprocidad)? E. g. Sé $$\mathrm{res}^{\mathrm{GL}_n}_{\mathrm{GL}_k\times \mathrm{GL}_{n-k}} V(\lambda)_n \cong \bigoplus_{\alpha, \beta} c_{\alpha, \beta}^\lambda V(\alpha)_k \otimes V(\beta)_{n-k}$$ donde $V(\lambda)_n$ es el polinomio irreducible representaciones correspondiente a una partición (Jóvenes o diagrama) $\lambda$ $\mathrm{GL}_n(\mathbb C)$ $c^\lambda_{\alpha,\beta}$ son los Littlewood-Richardson números. Es cierto que $$ \mathrm{ind}_{\mathrm{GL}_k\times \mathrm{GL}_{n-k}}^{\mathrm{GL}_n} V(\alpha)_k \otimes V(\beta)_{n-k} \cong \bigoplus_\lambda c_{\alpha,\beta}^\lambda V(\lambda)_n ?$$ (Sé que no es pero cierto, pero debe ser cierto al ser semi-simple.) Ver nueva pregunta aquí

Answer 1

Las representaciones de la teoría de $U_n$ es más sencillo que el de $GL_n(\mathbb{C})$: cada una continua representación de $U_n$ es semisimple, y cada una continua representación irreducible es finito dimensionales y es la restricción de una irreductible algebraicas representación de $GL_n(\mathbb{C})$. De hecho, la restricción de finito dimensionales expresiones algebraicas de $GL_n(\mathbb{C})$ $U_n$$\mathbb{C}$- lineal de equivalencia de tensor de categorías. La idea básica de la prueba es observar que $U_n$ es Zariski denso en $GL_n$ y, por tanto, irreductible expresiones algebraicas siendo irreducible sobre restricción (esto a veces va por el nombre de Weyl es unitaria truco y puede ser usado para demostrar su personaje epónimo de la fórmula). Por supuesto, la teoría de la representación de la no-compacto de Lie del grupo de $GL_n(\mathbb{C})$ es mucho más complicado que esto!

La relación entre el $SO_n$ $O_n$ es aún más simple: debido a que cada matriz en $O_n$ ha determinante $\pm 1$, $SO_n$ es un índice $2$ subgrupo normal de $O_n$. Clifford teoría, entonces, completamente describe la relación entre sus representaciones irreducibles: cada irreductible $O_n$-módulo o permanece irreductible o se divide en dos irreducibles sobre restricción, y que esto sucede, es determinado por el comportamiento de las representaciones sobre tensoring con el determinante de la representación.

Answer 2

La "agradable" representaciones de $GL_n(\mathbb{C})$ son equivalentes a los "buenos" representaciones de $U_n$; la pregunta es cómo se debe definir agradable. Deje $\rho: GL_n(\mathbb{C}) \to GL_N(\mathbb{C})$ ser un mapa de los grupos. A continuación, los siguientes son equivalentes:

• Las entradas de la matriz $\rho(g)$ son complejas funciones analíticas de las entradas de la matriz $g$.
• Las entradas de la matriz $\rho(g)$ son polinomios en las entradas de la matriz$g$$\det(g)^{-1}$.

Deje $\sigma: U_n \to GL_N(\mathbb{C})$ ser un mapa de los grupos. Los siguientes son equivalentes:

• Las entradas de la matriz $\rho(g)$ son funciones continuas de las entradas de la matriz $g$.
• Las entradas de la matriz $\rho(g)$ son suaves las funciones de las entradas de la matriz $g$.
• Las entradas de la matriz $\rho(g)$ son polinomios en las entradas de la matriz $g$ y sus complejos conjugados.

Si utilizamos cualquiera de las condiciones en que estas listas definición de "agradable" de las representaciones, la restricción de $GL_n(\mathbb{C})$ $U_n$es un functor de niza $GL_N$ representaciones de niza $U_n$ representaciones.

Teorema Este functor es una equivalencia de categorías. En particular, todos los $U_n$ representación levanta a una $GL_N$ de representación, $\dim Hom_{GL_N}(V,W) = \dim Hom_{U_n}(V|_{U_n}, W|_{U_n})$ $V$ es irreducible si y sólo si $V|_{GL_n}$ es irreductible.

Las partes fáciles de esto son que $\dim Hom_{GL_N}(V,W) = \dim Hom_{U_n}(V|_{U_n}, W|_{U_n})$ $V$ es irreducible si y sólo si $V|_{GL_n}$ es irreductible. No sé una manera fácil de ver que cada niza $U_n$ de representación se extiende a una buena $GL_n$ de representación. He cubierto este material en 10 de octubre de mi teoría de la representación del curso. Consulte el Capítulo 5 de Joel Kamnitzer de la conferencia de las notas para una discusión más general.

No sé de ningún bien los resultados acerca de la no-niza representaciones de $U_n$. No niza representaciones de $GL_n$, sin embargo, son interesantes por dos razones. Primero de todos, usted puede ser que desee para el estudio de $GL_n(\mathbb{C})$ como un grupo topológico, ignorando su compleja estructura. Por ejemplo, $SL_2(\mathbb{C})$ es una doble cubierta de $SO(3,1)$. Los físicos están muy interesados en la teoría de la representación de $SO(3,1)$, pero que no le preocupa que las representaciones que ser analítico.

En segundo lugar, hay interesantes infinito de representaciones tridimensionales de $GL_n$. En contraste, el de Peter-Weyl teorema, cualquier continua en el espacio de Hilbert representación de $U_n$ es una suma directa de finito representaciones tridimensionales, por lo que pasar a infinito de dimensiones no hacer la $U_n$ teoría más profunda.