Pregunta sobre la función de Von-Mangoldt.

Question

Dejemos que $\psi(x) := \sum_{n\leq x} \Lambda(n)$ donde $\Lambda(n)$ es la función de Von-Mangoldt. Quiero demostrar que si $$ \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{\psi(x)}{x} =1 $$ entonces también $$\lim_{x\rightarrow \infty} \frac{\pi(x) \log x }{x}=1.$$

Intenté jugar un poco con $\psi$ Lo que quiero mostrar es que:

$$\left| \frac{\pi(x) \log x}{x} -1 \right| \leq \left| \frac{\psi(x)}{x} -1 \right| \rightarrow 0$$

Así que traté de desarrollar $\psi$ un poco, pero me desvié.

Así que tengo $$ \frac{\psi(x)}{x} -1 = \sum_{p^k \leq x , k \geq 1} \frac{\log p}{x} -1 = \frac{1}{x}\left(\sum_{p\leq x} \log p + \sum_{p^2\leq x} \log p + ...+ \sum_{p^k \leq x, p^{k+1} >x} \log p \right) -1 $$ y quiero estimar su valor abosluto desde abajo, pero no tengo ni idea?

¿Alguna pista?

Gracias.

Answer 1

Esta es una modificación de una prueba dada en la obra de Chandrasekharan Introducción a la teoría analítica de números (p.65, Teorema 2). Ya que pides pistas, intentaré omitir algunos detalles y conservar los puntos de referencia.

Como ha señalado, tenemos

$$ \psi(x) = \sum_{p\leq x} \log p + \sum_{p^2\leq x} \log p + \sum_{p^3\leq x} \log p + \cdots, $$

la cadena de sumas es finita para $x > 0$ desde $p^m \geq 2^m > x$ cuando $m > \log x/\log 2$ . Ahora bien, si $x \geq 1$ y $p^n \leq x < p^{n+1}$ entonces $\log p$ ocurre exactamente $n$ veces en la suma, y $n = \lfloor \log x / \log p \rfloor$ . Así,

$$ \psi(x) = \sum_{p \leq x} \left\lfloor\frac{\log x}{\log p}\right\rfloor\log p. $$

El resultado se obtiene en dos pasos. En primer lugar, hay que demostrar que

$$ \psi(x) \leq \pi(x) \log x. $$

A continuación, dejemos que $0 < \alpha < 1$ y demostrar que

$$ \psi(x) \geq \sum_{x^\alpha < p \leq x} \left\lfloor\frac{\log x}{\log p}\right\rfloor\log p \geq \alpha \log x (\pi(x) - x^\alpha), $$

y luego dividir por $x$ y que $x \to \infty$ .