Supongamos que estamos en un abelian tensor de la categoría de dobles, donde todos los objetos tienen longitud finita. Deje $0 \to A \to B \to C \to 0$ ser una breve secuencia exacta y $Z$ un objeto de la categoría. Es $$0 \to Z \otimes A \to Z \otimes B \to Z \otimes C \to 0$$ exacto?
Motivación: estoy leyendo la prueba de la Proposición 5.7 en este papel de Deligne y tratando de averiguar por qué la parte inferior de la secuencia en la parte inferior de la página 23 es exacta. Creo $\mathcal{H}om(X,Y)$ aquí es $X^{\vee} \otimes Y$, aunque no he encontrado el punto en el papel donde él lo define. Lo que él está tratando de demostrar es que la secuencia correspondiente de externos Hom es exacta, por lo que no puede ser el uso de ese hecho.
Hay, por supuesto, toneladas de abelian tensor de categorías donde $\otimes$ no es exacto. Por ejemplo, módulos para cualquier anillo conmutativo $A$ que no es un campo, con el producto tensor $\otimes_A$. Pero estos no suelen tener duales para todos sus objetos.
