puede ser demostrada por medio elemental de que las curvas de $y=\cos x$ $y=x$ cumplir exactamente una vez, en un valor de $x=\alpha$ la satisfacción de: $$\cos \alpha = \alpha$$ también es evidente (empíricamente) que simple reiteró que presione el coseno botón en una calculadora produce una secuencia que parece converger a un valor constante, a una velocidad moderada, de ningún valor real a $0.73908\dots$.
sin embargo desde hace algún tiempo he jugueteó sobre sin éxito tratando de demostrar esta convergencia. esto es interesante desde un punto de vista psicológico - porque yo creía que el problema estaba más allá de mi alcance, no pude detectar con un simple " prueba-idea, que no requiere más que de alta escuela de cálculo y trigonometría.
o al menos ese es mi pensamiento actual! la siguiente prueba-la idea parece bien, aunque no he de puntos cada i y cruza todos los t, y desde que me conozco a mí mismo para ser propenso a errores, le agradecería que si alguien con más experiencia puede comprobar el argumento, y remediar cualquier deficiencia - o en el peor de detectar un defecto fundamental no he notado.
Estoy seguro de cómo rematar, y también acerca de cómo gestionar adecuadamente el papel de la $\delta$ - en el hecho de la convergencia, aunque no rápida, parece muy robusto con respecto a los valores iniciales.
gracias
en primer lugar, ya sabemos que el número de $\alpha$ existe, de esta forma se simplifica la demostración. esto es suficiente para mostrar que: $$\exists \delta,\lambda \in (0,1) . \forall x \in \mathbb{R}.|x-\alpha| \lt \delta \rightarrow |\cos x - \alpha| \lt \lambda |x-\alpha|$$
set $\beta=\sin \alpha = \sqrt{1-\alpha^2}$ y deje $x=\alpha +\epsilon$. entonces: $$ |x-\alpha| = |\epsilon| $$ y $$\cos x = \cos \alpha \cos \epsilon \sin \alpha \sin \epsilon = \alpha (1+O(\epsilon^2)) - \beta(\epsilon + O(\epsilon^3)) $$así: $$ |\cos x - \alpha| = \beta |\epsilon|+O(\epsilon^2)= (\beta +O(\epsilon))|\epsilon| $$ dando $$ |\cos x - \alpha| = (\beta +O(\epsilon))|x-\alpha| $$
