Cómo demostrar que una función es positiva

Question

Llevo mucho tiempo intentando demostrar que la siguiente integral

$$I_t(x)=\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\frac{\cosh^2(u)}{2x}}\,e^{-\frac{u^2}{2 t}}\,\cos\left(\frac{\pi\,u}{2t }\right)\,\cosh(u)\,du,\hspace{0.5cm}x,t>0$$ es positivo, es decir, $I_t(x)>0\,\,\forall x,t>0$ pero no he tenido éxito.

Básicamente, he utilizado la siguiente manera: dividir el intervalo en diferentes regiones donde el integrando cambia de signo y tratar de ver que las áreas positivas son más grandes que las negativas. Lamentablemente, esta forma no funciona (con muchas variantes diferentes).

Ahora, en este momento, me pregunto por otra forma diferente de probarlo.

¿Alguien sabe cómo demostrar que este tipo de funciones son positivas de una manera diferente? Sólo necesito la forma, no la prueba.

Adjunte el gráfico de $I_t(x)$ para $t=1$ (es muy similar para otros valores de $t$ )

y añadir, si es interesante, que

$$f (x) = \frac {e ^ {\frac {\pi ^ 2} {8t}}} {2 \pi \sqrt {tx ^ 3}} \, I_t(x)$$

es una función de densidad : $\displaystyle \int _ {- \infty} ^ {\infty} f (x) dx = 1$

Cualquier ayuda es bienvenida.

Answer 1

Integral $I_t(x)$ también puede escribirse como:

\begin {ecuación} I_t(x)=-e^{t/2}\N-, \int_ {- \infty }^{ \infty }e^{- \frac { \cosh ^2(u+t)}{2x}\N-, e^{- \frac {u^2}{2 t}}, \sin\left ( \frac { \pi\ ,u}{2t } \right )\N-\N-por el que se le da la vuelta a la tortilla. \end {Ecuación}

\begin {Ecuación} \tilde {I}_t(x)=e^{-1/2x} \int_ {- \infty }^{ \infty }e^{- \frac {u^2}{2x}},e^{- \frac {arcsinh^2(u)}{2 t}}, \cos\left ( \frac { \pi\ arcsinh(u)}{2t} \right )\N-\N-por el que se le da la vuelta a la tortilla. \end {Ecuación}

\begin {Ecuación} I_t(x)=e^{- \pi ^2/8t}e^{-1/2x}\, \int_ {- \infty }^{ \infty }e^{- \frac {u^2}{2x}},e^{- \frac {ArcCosh^2(i\,u)}{2 t}\},du \end {Ecuación}

\begin {ecuación} I_t(x)=i\N,e^{- \pi ^2/8t}\, \int_ {- \infty +i\, \pi /2}^{ \infty +i\, \pi /2}e^{ \frac { \sinh ^2(u)}{2x}\N- \frac {u^2}{2 t}}, \sinh\left (u \right )\N-\N-por el que se le da la vuelta a la tortilla. \end {Ecuación}

En los tres primeros casos, me pregunto si el integrando estaría acotado inferiormente por una función impar, la prueba está terminada.

¿Es posible?