Un problema de Ramanujan ' interés s: cerrada forma de $1 + 2\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cosh(n\theta)}{\cosh(n\pi)} $

Question

Yo soy Brian Díaz, y soy nuevo en el de matemáticas.stackexchange de la comunidad.

He estado luchando con el intento de encontrar una forma cerrada de la siguiente serie:

$$ \varphi(\theta) = 1 + 2\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cosh(n\theta)}{\cosh(n\pi)} $$

Es cierto que me intentó convertir a una "factible integral", pero fue en vano. Diablos, en el proceso de conversión a una integral, no estoy siquiera seguro de intercambio de la suma y la integral es válida. Sin embargo, este fue mi resultado. $$\frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\sin(x)}{\cosh(\theta) - \cos(x)} \frac{1}{\cosh(x)}dx $$

Esto se deriva de un problema de Ramanujan estaba trabajando. Para aquellos que están interesados en la fuente, usted puede visitar http://mathworld.wolfram.com/RamanujanCosCoshIdentity.html. Nota: Incluso si no tiene una forma cerrada, todavía estoy interesado en información valiosa para el problema. Además, he sido informado por mi profesor de considerar la posibilidad de aplicar el residuo de la teoría, a pesar de que su no tan seguro de lo que el resultado sería.

Muchas gracias por tu apoyo, y espero que ustedes tengan un bendecido día!

Answer 1

La forma cerrada implica Jacobi elíptica función de $\operatorname{dn}(z,k)$, lo que ha de Fourier de la serie $$\operatorname{dn}(z,k)=\frac{\pi}{2K}\left[1+2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos n\pi\frac{z}{K}}{\cosh n \pi \frac{K'}{K}}\right],$$ donde $K(k)$ denota completa de la integral elíptica y $K'(k)=K(\sqrt{1-k^2})$ la complementaria.

Ahora si denotamos $k_1=\frac{1}{\sqrt2}$ la primera integral elíptica de valor singular y $$K_1:=K(k_1)=K'(k_1)=\frac{\Gamma^2\left(\frac14\right)}{4\sqrt{\pi}},$$ la suma puede ser expresado como $$\boxed{\displaystyle \quad \varphi\left(\theta\right):=1+2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cosh n\theta}{\cosh n \pi}=\frac{2K_1}{\pi}\,\operatorname{dn}\left(\frac{iK_1\theta}{\pi},k_1\right)\quad}$$

P. S. Para comprobar la respuesta con Mathematica, tenga en cuenta que el último utiliza el $k^2$ en lugar de $k$ en los argumentos de $\mathrm{EllipticK[}\cdot\mathrm{]}$$\mathrm{JacobiDN[}z,\cdot\mathrm{]}$. Por ejemplo, $K_1$ es evaluado con $\mathrm{EllipticK[}\frac12\mathrm{]}$.

P. P. S Esto transforma la prueba de Ramanujan cos/cosh identidad en una línea de cálculo que implican Jacobi imaginario de transformación para $\operatorname{dn}(z,k)$, como se explica aquí.